समापवर्तक और समापवर्त्य | Factors and Multiples | Mathwayy
LCM & HCF
Factors & Multiples
Fractions LCM/HCF
Short Tricks
LCM और HCF
लघुत्तम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्तक — परिभाषा, ज्ञात करने की विधियाँ, संबंध, सूत्र और शार्टकट ट्रिक्स
LCM और HCF (ल.स.प. एवं म.स.प.)
अंकगणित की आधारभूत संकल्पनाएं एवं प्रतियोगी परीक्षा ट्रिक्स
प्रस्तावना एवं मूल अवधारणाएँ (Basic Concepts)
अंकगणित (Arithmetic) में गणनाओं को सरल बनाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) का अध्ययन अति-आवश्यक है। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, UPSI, Railway, State Exams) में समय, कार्य, टंकी और घंटी बजने संबंधी इबारती प्रश्नों (Word Problems) को हल करने में इनका सीधा प्रयोग होता है।
LCM और HCF को समझने से पहले 2 बुनियादी शब्द जानना आवश्यक है:
1. गुणज / अपवर्त्य (Multiple)
किसी संख्या में प्राकृतिक संख्याओं (1, 2, 3...) का गुणा करने पर जो संख्याएँ मिलती हैं, वे उस संख्या के 'गुणज' कहलाती हैं।
4 के गुणज = 4, 8, 12, 16, 20 ...
2. गुणनखंड / अपवर्तक (Factor)
वे सभी संख्याएँ जो किसी दी गई संख्या को पूरी तरह विभाजित (शेषफल = 0) कर देती हैं, उसके 'गुणनखंड' कहलाती हैं।
12 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
1. लघुत्तम समापवर्त्य (LCM - Least Common Multiple)
दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या होती है, जो उन दी गई सभी संख्याओं से **पूर्णतः विभाजित** हो जाती है।
उदाहरण
12 और 16 का LCM ज्ञात करना:
• 12 के गुणज = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96...
• 16 के गुणज = 16, 32, 48, 64, 80, 96...
उभयनिष्ठ गुणज (Common Multiples) = 48, 96... ➔ सबसे छोटा उभयनिष्ठ = 48।
• 12 के गुणज = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96...
• 16 के गुणज = 16, 32, 48, 64, 80, 96...
उभयनिष्ठ गुणज (Common Multiples) = 48, 96... ➔ सबसे छोटा उभयनिष्ठ = 48।
LCM निकालने की प्रमुख विधियाँ:
अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization)
1. सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें।
2. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की **अधिकतम घात (Highest Power)** को आपस में गुणा करें।
उदाहरण (12, 18, 20):
• 12 = 2² × 3¹
• 18 = 2¹ × 3²
• 20 = 2² × 5¹
• LCM = 2² × 3² × 5¹ = 4 × 9 × 5 = 180।
2. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की **अधिकतम घात (Highest Power)** को आपस में गुणा करें।
उदाहरण (12, 18, 20):
• 12 = 2² × 3¹
• 18 = 2¹ × 3²
• 20 = 2² × 5¹
• LCM = 2² × 3² × 5¹ = 4 × 9 × 5 = 180।
भाग विधि (Division Method)
1. सभी संख्याओं को एक पंक्ति में लिखकर अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5...) से भाग दें।
2. जब तक नीचे 1 न आ जाए, भाग जारी रखें और सभी भाजकों का गुणा करें। (प्रतियोगी परीक्षा हेतु सबसे तीव्र विधि)।
2. जब तक नीचे 1 न आ जाए, भाग जारी रखें और सभी भाजकों का गुणा करें। (प्रतियोगी परीक्षा हेतु सबसे तीव्र विधि)।
2. महत्तम समापवर्तक (HCF - Highest Common Factor)
दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF / GCD) वह बड़ी से बड़ी संख्या होती है, जो दी गई सभी संख्याओं को **पूर्णतः विभाजित कर देती है**।
उदाहरण
24 और 36 का HCF ज्ञात करना:
• 24 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• 36 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
उभयनिष्ठ गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12 ➔ सबसे बड़ा उभयनिष्ठ = 12।
• 24 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• 36 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
उभयनिष्ठ गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12 ➔ सबसे बड़ा उभयनिष्ठ = 12।
HCF निकालने की प्रमुख विधियाँ:
अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization)
1. सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड करें।
2. केवल **उभयनिष्ठ (Common) गुणनखंडों की न्यूनतम घात** का गुणा करें।
उदाहरण (24, 36):
• 24 = 2³ × 3¹
• 36 = 2² × 3²
• HCF = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12।
2. केवल **उभयनिष्ठ (Common) गुणनखंडों की न्यूनतम घात** का गुणा करें।
उदाहरण (24, 36):
• 24 = 2³ × 3¹
• 36 = 2² × 3²
• HCF = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12।
लंबी भाग विधि (Long Division Method)
बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें। शेषफल से पुराने भाजक को भाग दें। यह प्रक्रिया तब तक दोहराएं जब तक शेषफल 0 न हो जाए। अंतिम भाजक ही **HCF** होता है।
अंतर विधि द्वारा HCF निकालने की सुपर ट्रिक
किन्हीं भी दो संख्याओं का HCF उनके **अंतर (Difference)** के बराबर या उस अंतर के किसी गुणनखंड (Factor) के बराबर होता है!
उदाहरण (56 और 72): अंतर = 72 − 56 = 16। क्या 16 से दोनों कटते हैं? नहीं (56/16 पूर्ण नहीं है)। 16 का गुणनखंड = 8। चूँकि 8 से 56 और 72 दोनों कटते हैं, अतः HCF = 8।
उदाहरण (56 और 72): अंतर = 72 − 56 = 16। क्या 16 से दोनों कटते हैं? नहीं (56/16 पूर्ण नहीं है)। 16 का गुणनखंड = 8। चूँकि 8 से 56 और 72 दोनों कटते हैं, अतः HCF = 8।
LCM और HCF के महत्वपूर्ण सूत्र (Essential Formulas)
1. दो संख्याओं और उनके LCM/HCF में संबंध
पहली संख्या × दूसरी संख्या = LCM × HCF
(नोट: यह नियम केवल 2 संख्याओं के लिए ही मान्य है, 3 या अधिक के लिए नहीं।)
2. भिन्नों का LCM और HCF (LCM & HCF of Fractions)
• भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) / (हरों का HCF)
• भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)
3. दशमलव संख्याओं का LCM और HCF
1. दशमलव के बाद अंकों की संख्या समान करें (शून्य लगाकर)।
2. दशमलव हटाकर पूर्णांकों का LCM/HCF ज्ञात करें।
3. प्राप्त उत्तर में वापस उतने ही स्थानों पर दशमलव लगा दें।
इबारती प्रश्नों के लिए मास्टर ट्रिक्स (Word Problem Shortcuts)
प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रश्नों की भाषा समझकर पहचानें कि LCM निकालना है या HCF:
घंटियाँ / चौराहे की बत्तियां (LCM Concept)
"3 घंटियाँ क्रमशः 10, 15, 20 मिनट के अंतराल पर बजती हैं..." ऐसे सवालों में अंतरालों का LCM निकाला जाता है।
LCM का प्रयोग
माप के बर्तन / वर्गाकार टाइलें (HCF Concept)
"वह बड़े से बड़ा बर्तन / नाप बताओ जो तीनों टंकियों के दूध को पूरा माप दे..." में HCF निकाला जाता है।
HCF का प्रयोग
शेषफल (Remainder) सम्बंधी ट्रिक्स
• वह छोटी से छोटी संख्या जिसे x, y, z से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 'r' शेष बचे:
➔ उत्तर = [ (x, y, z का LCM) + r ]
➔ उत्तर = [ (x, y, z का LCM) + r ]
• वह बड़ी से बड़ी संख्या जिससे x, y, z को भाग देने पर क्रमशः a, b, c शेष बचे:
➔ उत्तर = HCF of [ (x − a), (y − b), (z − c) ]
➔ उत्तर = HCF of [ (x − a), (y − b), (z − c) ]
विभिन्न प्रकार के हल किए गए उदाहरण (Step-by-Step Solved Examples)
उदा. 1
दो संख्याओं का HCF 11 तथा LCM 693 है। यदि एक संख्या 77 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।
• सूत्र से: पहली संख्या × दूसरी संख्या = LCM × HCF
• 77 × दूसरी संख्या = 693 × 11
• दूसरी संख्या = (693 × 11) / 77 = 693 / 7 = 89।
• 77 × दूसरी संख्या = 693 × 11
• दूसरी संख्या = (693 × 11) / 77 = 693 / 7 = 89।
उदा. 2
भिन्न 2/3, 8/9, और 16/81 का LCM और HCF ज्ञात कीजिए।
• LCM: अंशों (2, 8, 16) का LCM / हरों (3, 9, 81) का HCF = 16 / 3 = 16/3
• HCF: अंशों (2, 8, 16) का HCF / हरों (3, 9, 81) का LCM = 2 / 81 = 2/81।
• HCF: अंशों (2, 8, 16) का HCF / हरों (3, 9, 81) का LCM = 2 / 81 = 2/81।
उदा. 3
4 घंटियाँ 6, 8, 12 और 18 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे एक साथ बजना शुरू करें, तो वे कितने समय बाद पुनः एक साथ बजेंगी?
• 6, 8, 12, 18 का LCM = 72 सेकंड
• 72 सेकंड = 1 मिनट 12 सेकंड बाद वे पुनः एक साथ बजेंगी।
• 72 सेकंड = 1 मिनट 12 सेकंड बाद वे पुनः एक साथ बजेंगी।
तुलनात्मक सारणी: LCM vs HCF
दोनों अवधारणाओं का त्वरित रिवीजन:
| विशेषता | लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) | महत्तम समापवर्तक (HCF) |
|---|---|---|
| पूरा नाम | Least Common Multiple | Highest Common Factor / GCD |
| मूल पहचान | वह छोटी से छोटी विभाज्य संख्या। | वह बड़ी से बड़ी भाजक संख्या। |
| दी गई संख्याओं से संबंध | LCM दी गई संख्याओं से **बड़ा या बराबर** होता है। | HCF दी गई संख्याओं से **छोटा या बराबर** होता है। |
| विभाज्यता का नियम | LCM दी गई संख्याओं से **कटता है**। | HCF दी गई संख्याओं को **काटता है**। |
| सह-अभाज्य (Co-prime) हेतु | a और b का LCM = **a × b** | a और b का HCF = **1** |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
किन्हीं भी दो सह-अभाज्य संख्याओं (Co-Prime Numbers) का HCF क्या होता है?
दो सह-अभाज्य संख्याओं का HCF सदैव 1 होता है (जैसे: 8 और 15 का HCF = 1)।
Q2
क्या HCF हमेशा LCM को पूरा-पूरा विभाजित करता है?
हाँ! यह गणित का सार्वभौमिक नियम है कि दी गई संख्याओं का HCF सदैव उनके LCM को पूर्णतः विभाजित करता है।
Q3
भिन्नों का LCM निकालते समय हर (Denominator) का क्या निकाला जाता है?
भिन्नों का LCM निकालते समय अंशों का LCM तथा हरों का HCF निकाला जाता है।
Q4
क्या 3 संख्याओं के लिए 'संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF' लागू होता है?
नहीं, यह सरल सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए ही सत्य है। तीन या अधिक संख्याओं के लिए यह सीधे लागू नहीं होता।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
LCM और HCF की अवधारणाओं और ट्रिक्स को पढ़ने के बाद अब लाइव क्विज़ देकर अपनी गति जांचें:
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