घातांक और करणी | Indices and Surds | Mathwayy
aⁿ & ⁿ√a
Indices & Surds
Laws of Exponents
Rationalization
घातांक और करणी
Indices & Surds — अवधारणाएं, घातांक के नियम, करणी के प्रकार, परिमेयकरण और शार्टकट ट्रिक्स
घातांक और करणी (Indices & Surds)
बीजगणित और अंकगणित का महत्वपूर्ण गणनात्मक आधार
प्रस्तावना एवं मूल शब्दावली (Basic Concepts)
बहुत बड़ी या अति-सूक्ष्म संख्याओं को संक्षेप में व्यक्त करने तथा कठिन बीजगणितीय व्यंजकों (Algebraic Expressions) को सरल करने के लिए घातांक (Indices / Exponents) और करणी (Surds) का अध्ययन किया जाता है। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, UPSI, Railway, Banking) में सरलीकरण (Simplification) के प्रश्नों में इस अध्याय की सर्वाधिक भूमिका होती है।
1. घातांक (Indices / Exponents)
यदि किसी संख्या 'a' को स्वयं से ही 'n' बार गुणा किया जाए, तो इसे aⁿ लिखा जाता है। यहाँ 'a' को आधार (Base) और 'n' को घातांक (Power / Index) कहते हैं।
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
2. करणी (Surds / Radicals)
यदि 'a' एक धनात्मक परिमेय संख्या है और उसका n-वाँ मूल ⁿ√a (अथवा a^(1/n)) एक अपरिमेय संख्या हो, तो ऐसे मूल को 'करणी' कहते हैं।
√2, ∛5, ∜7 (करणी हैं)
करणी और अपरिमेय संख्या का अंतर
• प्रत्येक करणी एक अपरिमेय संख्या होती है (जैसे: √3 एक अपरिमेय संख्या है)।
• परंतु प्रत्येक अपरिमेय संख्या करणी नहीं होती। उदाहरण के लिए, π (पाई) और e अपरिमेय संख्याएँ हैं किंतु वे करणी नहीं हैं, क्योंकि वे किसी परिमेय संख्या का मूल (Root) नहीं हैं।
• परंतु प्रत्येक अपरिमेय संख्या करणी नहीं होती। उदाहरण के लिए, π (पाई) और e अपरिमेय संख्याएँ हैं किंतु वे करणी नहीं हैं, क्योंकि वे किसी परिमेय संख्या का मूल (Root) नहीं हैं।
घातांक के प्रमुख नियम (Laws of Indices)
घातांकों के प्रश्नों को हल करने के लिए निम्नलिखित 7 मूलभूत नियमों को कंठस्थ रखना आवश्यक है:
1. समान आधार का गुणा (Product Rule)
समान आधार होने पर गुणा में घाते जुड़ जाती हैं: aᵐ × aⁿ = a⁽ᵐ⁺ⁿ⁾
उदाहरण: 2³ × 2⁴ = 2⁽³⁺⁴⁾ = 2⁷ = 128
2. समान आधार का भाग (Quotient Rule)
समान आधार होने पर भाग में घाते घट जाती हैं: aᵐ ÷ aⁿ = a⁽ᵐ⁻ⁿ⁾
उदाहरण: 5⁶ ÷ 5² = 5⁽⁶⁻²⁾ = 5⁴ = 625
3. घात की घात (Power of Power Rule)
घात के ऊपर घात होने पर घातों का आपस में गुणा हो जाता है: (aᵐ)ⁿ = a⁽ᵐ × ⁿ⁾
उदाहरण: (3²)³ = 3⁽²×³⁾ = 3⁶ = 729
4. असमान आधार और समान घात
• गुणा में: aᵐ × bᵐ = (a × b)ᵐ
• भाग में: aᵐ ÷ bᵐ = (a / b)ᵐ
5. शून्य घातांक नियम (Zero Exponent)
किसी भी शून्यतर (Non-zero) संख्या की घात 0 होने पर उसका मान सदैव 1 होता है: a⁰ = 1
उदाहरण: (857)⁰ = 1, (-15)⁰ = 1
6. ऋणात्मक घातांक नियम (Negative Exponent)
ऋणात्मक घात को धनात्मक बनाने के लिए पद का व्युत्क्रम (Reciprocal) करते हैं: a⁻ᵐ = 1 / aᵐ
उदाहरण: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1 / 8
करणी के प्रमुख नियम (Laws of Surds)
करणीगत व्यंजकों को हल करते समय निम्नलिखित नियमों का प्रयोग किया जाता है (यहाँ a, b धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं):
1. (ⁿ√a)ⁿ = a
करणी की घात और बाहरी घात समान होने पर करणी चिह्न हट जाता है।
• (∛5)³ = 5
• (∛5)³ = 5
2. ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(a × b)
समान घात वाली करणियों का आपस में गुणा किया जा सकता है।
• √2 × √3 = √6
• √2 × √3 = √6
3. ⁿ√a ÷ ⁿ√b = ⁿ√(a / b)
समान घात वाली करणियों को एक ही करणी के अंतर्गत भाग दिया जा सकता है।
• √15 ÷ √3 = √(15/3) = √5
• √15 ÷ √3 = √(15/3) = √5
4. ᵐ√(ⁿ√a) = ⁽ᵐ⁺ⁿ⁾√a = ᵐⁿ√a
करणी के अंदर करणी होने पर उनकी घातों का गुणा हो जाता है।
• ∛(√64) = ⁶√64 = 2
• ∛(√64) = ⁶√64 = 2
करणी के प्रकार (Types of Surds)
1. शुद्ध करणी (Pure Surd)
ऐसी करणी जिसमें परिमेय गुणनखंड केवल 1 होता है तथा शेष भाग पूर्णतः करणीगत होता है।
√7, ∛11, ∜5
2. मिश्र करणी (Mixed Surd)
ऐसी करणी जिसमें 1 के अतिरिक्त कोई अन्य परिमेय गुणनखंड भी शामिल होता है।
2√3, 5∛2, 3√7
3. सदृश करणी (Like Surds)
वे करणियाँ जिनका करणीगत भाग (Radicand) और करणी की घात दोनों समान होते हैं। इन्हें ही आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है।
3√2 और 5√2
4. असदृश करणी (Unlike Surds)
वे करणियाँ जिनका करणीगत भाग या घात भिन्न होती हैं। इन्हें सीधे जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता।
2√3 और 3√5
करणी का परिमेयकरण (Rationalization)
जब किसी भिन्न (Fraction) के हर (Denominator) में करणी पद उपस्थित होता है, तो अंश और हर में एक उपयुक्त पद से गुणा करके हर को परिमेय संख्या में बदलने की प्रक्रिया को परिमेयकरण (Rationalization) कहते हैं।
परिमेयकारी गुणक (Rationalizing Factor - RF)
• √a का परिमेयकारी गुणक ➔ √a होता है (चूँकि √a × √a = a)।
• (√a + √b) का परिमेयकारी गुणक (संयुग्मी / Conjugate) ➔ (√a − √b) होता है।
• उदाहरण: 1 / (√3 + √2) का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर में (√3 − √2) से गुणा करेंगे:
➔ [ 1 × (√3 − √2) ] / [ (√3 + √2)(√3 − √2) ] = (√3 − √2) / (3 − 2) = √3 − √2।
अनंत करणी श्रेणी की सुपर-फ़ास्ट ट्रिक्स (Infinite Series Shortcuts)
प्रतियोगी परीक्षाओं में अनंत तक जाने वाली करणी श्रृंखलाओं पर आधारित प्रश्न बार-बार पूछे जाते हैं:
केस 1: √(x × √(x × √(x ... ∞))) [अनंत तक गुणा]
उत्तर = x (वही संख्या स्वयं उत्तर होती है)
उदाहरण: √(7 √(7 √(7 ... ∞))) = 7
केस 2: √(x + √(x + √(x ... ∞))) [अनंत तक जोड़]
संख्या 'x' के दो ऐसे क्रमागत गुणनखंड (n और n+1) करें जिनके बीच का अंतर 1 हो:
• यदि बीच में प्लस (+) का चिह्न है ➔ उत्तर = बड़ा गुणनखंड (n + 1)
• यदि बीच में माइनस (−) का चिह्न है ➔ उत्तर = छोटा गुणनखंड (n)
उदाहरण: √(12 + √(12 + √(12 ... ∞))) ➔ 12 = 4 × 3 ➔ प्लस चिह्न होने पर उत्तर = 4।
केस 3: सीमित पदों तक गुणा √(x √(x √(x ... n पदों तक)))
उत्तर = x^[(2ⁿ − 1) / 2ⁿ] (जहाँ n = करणी की कुल संख्या है)
उदाहरण: √(5 √(5 √(5))) [यहाँ n = 3] ➔ 5^[(2³ − 1) / 2³] = 5^(7/8)।
विभिन्न प्रकार के हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदा. 1
यदि 2^(x+4) − 2^(x+2) = 3 है, तो x का मान क्या होगा?
• 2^(x+2) उभयनिष्ठ (Common) लेने पर:
• 2^(x+2) [ 2² − 1 ] = 3
• 2^(x+2) [ 4 − 1 ] = 3 ➔ 2^(x+2) × 3 = 3 ➔ 2^(x+2) = 1
• चूंकि 2⁰ = 1 होता है, अतः x + 2 = 0 ➔ x = -2।
• 2^(x+2) [ 2² − 1 ] = 3
• 2^(x+2) [ 4 − 1 ] = 3 ➔ 2^(x+2) × 3 = 3 ➔ 2^(x+2) = 1
• चूंकि 2⁰ = 1 होता है, अतः x + 2 = 0 ➔ x = -2।
उदा. 2
√2, ∛3 तथा ∜4 में से सबसे बड़ी संख्या कौन सी है?
• करणी की घातों (2, 3, 4) का LCM = 12
• सभी को 12-वीं घात में बदलने पर:
√2 = 2^(1/2) = 2^(6/12) = ¹²√2⁶ = ¹²√64
∛3 = 3^(1/3) = 3^(4/12) = ¹²√3⁴ = ¹²√81
∜4 = 4^(1/4) = 4^(3/12) = ¹²√4³ = ¹²√64
• चूंकि 81 सबसे बड़ा है, अतः ∛3 सबसे बड़ी संख्या है।
• सभी को 12-वीं घात में बदलने पर:
√2 = 2^(1/2) = 2^(6/12) = ¹²√2⁶ = ¹²√64
∛3 = 3^(1/3) = 3^(4/12) = ¹²√3⁴ = ¹²√81
∜4 = 4^(1/4) = 4^(3/12) = ¹²√4³ = ¹²√64
• चूंकि 81 सबसे बड़ा है, अतः ∛3 सबसे बड़ी संख्या है।
तुलनात्मक सारणी: घातांक (Indices) vs करणी (Surds)
| विशेषता | घातांक (Indices) | करणी (Surds) |
|---|---|---|
| परिभाषा | किसी संख्या का स्वयं से बार-बार गुणा का संक्षिप्त रूप। | किसी परिमेय संख्या का अपरिमेय मूल (Root)। |
| सामान्य रूप | aⁿ (जहाँ n कोई भी वास्तविक संख्या है) | ⁿ√a (जहाँ ⁿ√a एक अपरिमेय संख्या है) |
| संख्या का प्रकार | परिमेय या अपरिमेय कुछ भी हो सकता है। | परिणाम सदैव अपरिमेय (Irrational) होता है। |
| उदाहरण | 2³ = 8, 3⁻² = 1/9, 16^(1/2) = 4 | √2 = 1.414..., ∛5 = 1.709... |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
क्या √9 एक करणी (Surd) है?
नहीं, √9 करणी नहीं है। चूँकि √9 = 3 होता है, जो कि एक पूर्ण परिमेय संख्या है। करणी होने के लिए मान का अपरिमेय होना अनिवार्य है।
Q2
किसी संख्या की घात 0 होने पर मान 1 क्यों होता है?
भाग नियम से: aᵐ ÷ aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰। दूसरी ओर, किसी संख्या को उसी से भाग देने पर aᵐ / aᵐ = 1 प्राप्त होता है। अतः सिद्ध होता है कि a⁰ = 1।
Q3
संयुग्मी करणी (Conjugate Surd) क्या होती है?
दो पदों वाली ऐसी करणी जिसके बीच का चिह्न बदलने पर उनका गुणनफल एक परिमेय संख्या बन जाता है, उसे संयुग्मी करणी कहते हैं। जैसे: (a + √b) की संयुग्मी (a − √b) होती है।
Q4
विभिन्न घातों वाली करणियों की तुलना कैसे की जाती है?
विभिन्न करणियों की तुलना करने के लिए सबसे पहले उनकी करणी घातों का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालकर सभी करणियों को समान घात में बदला जाता है।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
घातांक और करणी के नियमों एवं शार्टकट ट्रिक्स को पढ़ने के बाद अब लाइव क्विज़ देकर अपनी तैयारी का आकलन करें:
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अनंत करणी श्रेणियों की शार्टकट ट्रिक्स, परिमेयकरण के नियमों और 100+ हल किए गए अभ्यास प्रश्नों की प्रीमियम हस्तलिखित PDF मुफ्त डाउनलोड करें।
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