भिन्न | Fractions | Mathwayy
Numerator / Denominator
Fractions & Types
Operations on Fractions
Shortcut Tricks
भिन्न (Fractions)
Fractions — परिभाषा, प्रकार, गणितीय संक्रियाएं, तुलना की शार्टकट ट्रिक्स एवं संपूर्ण हल उदाहरण
भिन्न (Fractions)
गणित में किसी वस्तु के भाग या हिस्से को व्यक्त करने का आधार
प्रस्तावना एवं मूलभूत परिभाषा (Introduction)
गणित में किसी एक पूर्ण वस्तु या समूह के किसी एक या कई हिस्सों को दर्शाने वाली संख्या को भिन्न (Fraction) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक रोटी के 4 बराबर टुकड़े किए जाएं और उसमें से 1 टुकड़ा खा लिया जाए, तो खाए गए भाग को गणितीय भाषा में 1/4 (एक-चौथाई) भिन्न के रूप में लिखा जाता है।
भिन्न का गणितीय स्वरूप (Anatomy of a Fraction)
भिन्न को हमेशा अंश / हर (Numerator / Denominator) के रूप में व्यक्त करते हैं:
• अंश (Numerator): ऊपर लिखा जाने वाला अंक, जो यह बताता है कि कुल भागों में से कितने भाग लिए गए हैं।
• हर (Denominator): नीचे लिखा जाने वाला अंक, जो यह बताता है कि पूरी वस्तु को कुल कितने बराबर भागों में बांटा गया है। (हर का मान कभी भी 0 नहीं हो सकता)।
• अंश (Numerator): ऊपर लिखा जाने वाला अंक, जो यह बताता है कि कुल भागों में से कितने भाग लिए गए हैं।
• हर (Denominator): नीचे लिखा जाने वाला अंक, जो यह बताता है कि पूरी वस्तु को कुल कितने बराबर भागों में बांटा गया है। (हर का मान कभी भी 0 नहीं हो सकता)।
भिन्नों का संपूर्ण वर्गीकरण (Types of Fractions)
अंश और हर के मान तथा उनके आपसी संबंधों के आधार पर भिन्नों को निम्नलिखित मुख्य प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:
1. उचित भिन्न (Proper Fraction)
जिस भिन्न का अंश (Numerator) उसके हर (Denominator) से छोटा होता है। इसका मान सदैव 1 से कम होता है।
अंश < हर (उदा. 2/5, 3/7, 8/11)
2. अनुचित / विषम भिन्न (Improper)
जिस भिन्न का अंश उसके हर के बराबर या बड़ा होता है। इसका मान सदैव 1 या 1 से अधिक होता है।
अंश ≥ हर (उदा. 7/4, 11/3, 5/5)
3. मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction)
वह भिन्न जो एक **पूर्णांक (Whole Number)** तथा एक **उचित भिन्न** का संयुक्त रूप होती है। (अनुचित भिन्न को ही मिश्रित भिन्न में बदला जाता है)।
2 (3/4), 5 (1/2)
4. समान भिन्न (Like Fractions)
वे भिन्न जिनके **हर (Denominators) समान** होते हैं। इन्हें जोड़ना या घटाना अति-सरल होता है।
1/7, 3/7, 5/7
5. असमान भिन्न (Unlike Fractions)
वे भिन्न जिनके **हर (Denominators) अलग-अलग** होते हैं।
2/3, 4/5, 5/8
6. तुल्य भिन्न (Equivalent Fractions)
अंश और हर में समान संख्या से गुणा/भाग करने पर प्राप्त भिन्न जो समान मान दर्शाती हैं।
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
7. वितत / लंगड़ी भिन्न (Continued)
ऐसी भिन्न जिसके हर में निरंतर नीचे की ओर भिन्न जुड़ी रहती है। इन्हें नीचे से ऊपर हल किया जाता है।
1 + [ 1 / (2 + 1/3) ]
भिन्नों पर मूलभूत संक्रियाएँ (Operations on Fractions)
1. भिन्नों का जोड़ एवं घटाव (Addition & Subtraction)
• समान हर होने पर: सीधे अंशों को जोड़/घटा दें तथा हर वही रखें। (उदा: 2/7 + 3/7 = 5/7)।
• असमान हर होने पर: सबसे पहले हरों का **LCM (ल.स.प.)** लेकर उन्हें समान हर में बदलें, फिर अंशों को जोड़ें/घटाएं।
उदाहरण (1/2 + 2/3): 2 और 3 का LCM = 6 ➔ (3 + 4)/6 = 5/6।
2. भिन्नों का गुणा (Multiplication)
अंश का अंश में गुणा करें तथा हर का हर में गुणा करें:
(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)
उदाहरण: (3/4) × (5/7) = (3×5) / (4×7) = 15/28।
3. भिन्नों का भाग (Division)
भाग के चिह्न (÷) को गुणा (×) में बदलें और दूसरे भिन्न को **पलट दें (व्युत्क्रम / Reciprocal)**:
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c)
उदाहरण: (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10 / 12 = 5/6।
भिन्नों की तुलना करने की शार्टकट ट्रिक्स (Comparison Shortcuts)
प्रतियोगी परीक्षा में यह बताने के लिए कि कौन सी भिन्न सबसे बड़ी या सबसे छोटी है, इन 3 ट्रिक्स का प्रयोग करें:
ट्रिक 1: तिर्यक गुणा विधि (Cross Multiplication Trick)
दो भिन्नों a/b और c/d की तुलना के लिए (a × d) तथा (b × c) का मान निकालें।
• यदि a×d > b×c हो, तो a/b > c/d होगा।
उदाहरण (3/5 तथा 4/7): 3×7 = 21, और 5×4 = 20। चूंकि 21 > 20 है, अतः 3/5 बड़ा है 4/7 से।
ट्रिक 2: अंतर समान होने का नियम (Same Difference Rule)
यदि दी गई सभी भिन्नों में (हर − अंश) का अंतर समान हो:
• **उचित भिन्न में:** जिसका अंश सबसे बड़ा होगा, वह भिन्न **सबसे बड़ी** होगी।
उदाहरण (2/3, 5/6, 8/9): अंतर सबमें 1 है। यहाँ 8 सबसे बड़ा अंश है, अतः 8/9 सबसे बड़ी भिन्न होगी।
विभिन्न प्रकार के हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदा. 1
मिश्रित भिन्न 3 (2/5) को अनुचित भिन्न में बदलें।
• सूत्र: [ (पूर्णांक × हर) + अंश ] / हर
• [ (3 × 5) + 2 ] / 5 = (15 + 2) / 5 = 17/5।
• [ (3 × 5) + 2 ] / 5 = (15 + 2) / 5 = 17/5।
उदा. 2
वितत (लंगड़ी) भिन्न 1 + [ 1 / (1 + 1/2) ] का मान ज्ञात करें।
• सबसे नीचे का भाग हल करें: 1 + 1/2 = 3/2
• मान रखें: 1 + [ 1 / (3/2) ] = 1 + 2/3
• 1 + 2/3 = 5/3 (या 1 (2/3))।
• मान रखें: 1 + [ 1 / (3/2) ] = 1 + 2/3
• 1 + 2/3 = 5/3 (या 1 (2/3))।
उदा. 3
भिन्नों 2/3, 3/4, 1/2 तथा 4/5 को आरोही क्रम (Ascending Order) में व्यवस्थित कीजिए।
• दशमलव में बदलने पर: 2/3 = 0.66, 3/4 = 0.75, 1/2 = 0.50, 4/5 = 0.80
• आरोही क्रम (छोटे से बड़ा): 0.50 < 0.66 < 0.75 < 0.80
• उत्तर = 1/2 < 2/3 < 3/4 < 4/5।
• आरोही क्रम (छोटे से बड़ा): 0.50 < 0.66 < 0.75 < 0.80
• उत्तर = 1/2 < 2/3 < 3/4 < 4/5।
तुलनात्मक सारणी: उचित vs अनुचित vs मिश्रित भिन्न
| भिन्न प्रकार | अंश और हर का संबंध | मान (Value) | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| उचित भिन्न (Proper) | अंश < हर | सदैव 1 से कम (< 1) | 3/5, 7/10, 1/4 |
| अनुचित भिन्न (Improper) | अंश ≥ हर | सदैव 1 या 1 से अधिक (≥ 1) | 9/4, 5/2, 8/3 |
| मिश्रित भिन्न (Mixed) | पूर्णांक + उचित भिन्न | सदैव 1 से अधिक (> 1) | 2 (1/4), 3 (2/5) |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
क्या किसी भिन्न का हर (Denominator) 0 हो सकता है?
नहीं, किसी भी भिन्न का हर कभी 0 नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना गणित में अपरिभाषित (Undefined) है।
Q2
व्युत्क्रम भिन्न (Reciprocal Fraction) क्या होती है?
जब किसी भिन्न के अंश और हर के स्थानों को आपस में बदल दिया जाता है, तो प्राप्त भिन्न को मूल भिन्न का व्युत्क्रम कहते हैं। जैसे: 3/4 का व्युत्क्रम 4/3 होगा।
Q3
अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में कैसे बदला जाता है?
अंश में हर का भाग दें। भागफल को पूर्णांक के रूप में, शेषफल को नए अंश के रूप में तथा हर को वही रहने दें। (उदा. 7/3 = 2 (1/3))।
Q4
समान हर वाली भिन्नों (Like Fractions) की तुलना कैसे होती है?
यदि हर समान हैं, तो जिस भिन्न का अंश सबसे बड़ा होगा, वही भिन्न सबसे बड़ी होगी।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
भिन्नों के नियमों और तुलना की शार्टकट ट्रिक्स को पढ़ने के बाद अब लाइव टेस्ट देकर अपनी गति जांचें:
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