कणों के निकाय तथा घूर्णी गति | System of Particles & Rotational Motion
Rcm = Σmiri / Σmi
τ = r × F
L = I · ω
I = Σ m r2
कणों के निकाय तथा घूर्णी गति
(System of Particles & Rotational Motion)
(System of Particles & Rotational Motion)
दृढ़ पिंड (Rigid Body) का रहस्य, द्रव्यमान केंद्र और घूमने का विज्ञान
बिंदु से परे एक विशाल दुनिया
वास्तविक वस्तुएं बिंदु नहीं हैं; वे घूमती हैं, लुढ़कती हैं, और अपने केंद्र के चारों ओर नृत्य करती हैं।
प्रस्तावना: क्या ब्रह्मांड में सब कुछ एक 'बिंदु' है?
अब तक के भौतिकी के सफर में, हमने सुविधा के लिए कार, ट्रेन, पृथ्वी यहाँ तक कि सूर्य को भी एक 'बिंदु द्रव्यमान' (Point Mass) मान लिया था। बिंदु द्रव्यमान वह होता है जिसका अपना कोई आकार या विस्तार नहीं होता। लेकिन वास्तविकता में, हर वस्तु असंख्य कणों (Particles) से मिलकर बनी एक विस्तृत प्रणाली (Extended Body) है। जब एक कार चलती है, तो उसके पहिए घूम रहे होते हैं; जब एक पंखा चलता है, तो वह अपनी जगह पर ही रहकर गोल-गोल घूमता है। बिंदु द्रव्यमान की अवधारणा इन 'घूमने' वाली गतियों (Rotational Motions) को नहीं समझा सकती।
दृढ़ पिंड (Rigid Body)
इस अध्याय को समझने के लिए हमें एक आदर्श वस्तु की कल्पना करनी होगी जिसे दृढ़ पिंड (Rigid Body) कहते हैं। दृढ़ पिंड वह है जिसका एक निश्चित और अपरिवर्तनीय आकार (Shape and Size) होता है। सरल शब्दों में, चाहे आप उस पर कितना भी बल लगा लें, उसके किन्हीं भी दो कणों के बीच की दूरी कभी नहीं बदलती। (हालाँकि व्यवहार में कोई भी पिंड पूर्णतः दृढ़ नहीं होता, लेकिन लोहे का ब्लॉक, पत्थर, या लकड़ी का पहिया इसके बहुत करीब होते हैं)।
एक दृढ़ पिंड मुख्य रूप से दो प्रकार की गति कर सकता है: स्थानांतरीय गति (Translational Motion) जिसमें वस्तु का हर कण समान वेग से एक ही दिशा में जाता है, और घूर्णी गति (Rotational Motion) जिसमें वस्तु एक निश्चित अक्ष (Axis) के चारों ओर घूमती है।
द्रव्यमान केंद्र (Center of Mass - CoM)
यदि आप एक छड़ी (Stick) को हवा में उछालें, तो छड़ी का हर हिस्सा एक जटिल पथ पर घूमता हुआ जाएगा। लेकिन छड़ी पर एक विशेष बिंदु ऐसा होता है जो हवा में बिल्कुल एक साधारण परवलय (Parabola) बनाता है, जैसे कि वह कोई 'बिंदु' (Point mass) हो जिसे फेंका गया हो। इस जादुई बिंदु को ही द्रव्यमान केंद्र (Center of Mass) कहते हैं।
द्रव्यमान केंद्र क्या है?
किसी निकाय (System) या वस्तु का द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु होता है, जहाँ निकाय का संपूर्ण द्रव्यमान (Total Mass) केंद्रित माना जा सकता है। यदि वस्तु पर बाहर से कोई बल (External Force) लगाया जाए, तो यह बिंदु ठीक वैसे ही गति करता है जैसे कि पूरा बल उसी एक बिंदु पर लगा हो।
2-कण निकाय (2-Particle System)
यदि X-अक्ष पर m1 और m2 द्रव्यमान क्रमशः x1 और x2 दूरी पर रखे हों:
xcm = (m1x1 + m2x2) / (m1 + m2)
xcm = (m1x1 + m2x2) / (m1 + m2)
n-कण निकाय (n-Particle System)
अनेक कणों के लिए त्रि-विमीय (3D) आकाश में CoM का स्थिति सदिश (R):
Rcm = Σ (mi ri) / M
Rcm = Σ (mi ri) / M
सममित वस्तुएं (Symmetric Bodies)
यदि वस्तु एकसमान है, तो उसका द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र (Geometric Center) पर होता है (जैसे रिंग का केंद्र, गोले का केंद्र)।
द्रव्यमान केंद्र की गति: यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है (Fext = 0), तो निकाय का द्रव्यमान केंद्र या तो स्थिर रहेगा या एकसमान वेग से चलता रहेगा (Vcm = Constant)। आंतरिक बल (Internal forces) (जैसे बम का हवा में फटना) कभी भी द्रव्यमान केंद्र के पथ को नहीं बदल सकते।
दो सदिशों का सदिश गुणनफल (Vector / Cross Product)
घूर्णी गति (Rotational Motion) को समझने के लिए हमें एक विशेष प्रकार के गणित की आवश्यकता होती है जिसे 'क्रॉस प्रोडक्ट' कहते हैं। पिछले अध्यायों में हमने डॉट प्रोडक्ट (A · B = AB cosθ) पढ़ा था जो एक अदिश (Scalar) परिणाम देता है। लेकिन जब दो सदिशों का गुणा करने पर एक नया सदिश (Vector) प्राप्त हो, तो उसे सदिश गुणनफल (Cross Product) कहते हैं।
A × B = |A| |B| sinθ n̂
- यहाँ θ दोनों सदिशों के बीच का छोटा कोण है।
- n̂ (n-cap): यह एक एकांक सदिश है जो यह बताता है कि नए सदिश की दिशा क्या होगी। यह दिशा A और B दोनों के तल के ठीक लंबवत (Perpendicular) होती है।
- दाएं हाथ का नियम (Right Hand Rule): यदि आप अपने दाएं हाथ की उंगलियों को A की दिशा से B की दिशा की ओर मोड़ें, तो आपका फैला हुआ अंगूठा (Thumb) A × B की दिशा बताएगा।
बल आघूर्ण (Torque) और कोणीय संवेग (Angular Momentum)
जिस प्रकार किसी वस्तु को सीधी रेखा में चलाने के लिए बल (Force) की आवश्यकता होती है, उसी प्रकार किसी वस्तु को किसी अक्ष (Axis) के परितः घुमाने के लिए 'बल आघूर्ण' (Torque) की आवश्यकता होती है।
बल आघूर्ण (Torque, τ)
यह बल का घूर्णी प्रभाव (Turning effect) है। दरवाजे को उसके कब्जों (Hinges) से दूर धकेलना आसान होता है, बनिस्बत कब्जों के पास धकेलने के, क्योंकि दूरी (r) बढ़ने से टॉर्क बढ़ जाता है。
सूत्र: τ = r × F
(परिमाण: τ = r F sinθ)
यहाँ 'r' घूर्णन अक्ष से बल की लंबवत दूरी है। इसका मात्रक N·m (न्यूटन-मीटर) है।
सूत्र: τ = r × F
(परिमाण: τ = r F sinθ)
यहाँ 'r' घूर्णन अक्ष से बल की लंबवत दूरी है। इसका मात्रक N·m (न्यूटन-मीटर) है।
कोणीय संवेग (Angular Momentum, l)
यह रेखीय संवेग (Linear momentum, p = mv) का घूर्णी समतुल्य (Rotational analogue) है। कोई घूमती हुई वस्तु रुकने का कितना विरोध करेगी, यह उसका कोणीय संवेग तय करता है。
सूत्र: l = r × p
(परिमाण: l = r p sinθ)
दृढ़ पिंडों के लिए इसे L = I · ω के रूप में भी लिखा जाता है।
सूत्र: l = r × p
(परिमाण: l = r p sinθ)
दृढ़ पिंडों के लिए इसे L = I · ω के रूप में भी लिखा जाता है।
न्यूटन के द्वितीय नियम का घूर्णी रूप
रेखीय गति में: बल (F) = रेखीय संवेग में परिवर्तन की दर (dp / dt)
घूर्णी गति में: बल आघूर्ण (τ) = कोणीय संवेग में परिवर्तन की दर (dL / dt)
अर्थात: τ = dL / dt। यह घूर्णी गतिकी का सबसे मौलिक समीकरण है।
दृढ़ पिंड का संतुलन (Equilibrium of a Rigid Body)
किसी दृढ़ पिंड को पूर्ण रूप से यांत्रिक संतुलन (Mechanical Equilibrium) में तब कहा जाता है जब उसका न तो रेखीय वेग बदल रहा हो और न ही कोणीय वेग। इसके लिए दो शर्तें अनिवार्य हैं:
1
स्थानांतरीय संतुलन (Translational Equilibrium): पिंड पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। (ΣF = 0)। इससे रेखीय त्वरण (a = 0) शून्य हो जाता है।
2
घूर्णी संतुलन (Rotational Equilibrium): पिंड पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बल आघूर्णों (Torques) का सदिश योग शून्य होना चाहिए। (Στ = 0)। इससे कोणीय त्वरण (α = 0) शून्य हो जाता है।
आघूर्णों का सिद्धांत (Principle of Moments)
दैनिक जीवन में, एक साधारण तराजू (Beam Balance) या सी-सॉ (See-saw) इसी सिद्धांत पर काम करते हैं। संतुलन की अवस्था में, आलंब (Fulcrum) के परितः वामावर्त आघूर्ण (Anticlockwise moments) का योग = दक्षिणावर्त आघूर्ण (Clockwise moments) का योग होता है।
F1 · d1 = F2 · d2 (जहाँ d आलंब से लंबवत दूरी है)।
F1 · d1 = F2 · d2 (जहाँ d आलंब से लंबवत दूरी है)।
जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia, I)
जिस प्रकार रेखीय गति में द्रव्यमान (Mass) 'जड़त्व' का काम करता है (वस्तु को चलाने या रोकने का विरोध), ठीक उसी प्रकार घूर्णी गति में कोई वस्तु कितनी आसानी से घूमेगी या घूमती हुई वस्तु कितनी आसानी से रुकेगी, यह जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) पर निर्भर करता है।
I = Σ mi ri2
यह सूत्र बताता है कि घूर्णी जड़त्व केवल वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता, बल्कि इस बात पर भी निर्भर करता है कि वह द्रव्यमान घूर्णन अक्ष (Axis of rotation) से कितनी दूर (r) स्थित है। यदि द्रव्यमान अक्ष से दूर है (जैसे भारी पहिए का रिम), तो जड़त्व आघूर्ण बहुत अधिक होगा और उसे घुमाना बहुत कठिन होगा। इसका SI मात्रक kg·m2 होता है।
परिभ्रमण त्रिज्या (Radius of Gyration, K)
यदि किसी दृढ़ पिंड के संपूर्ण द्रव्यमान (M) को घूर्णन अक्ष से किसी एक लंबवत दूरी 'K' पर सिकुड़ा हुआ मान लिया जाए, ताकि उसका जड़त्व आघूर्ण उतना ही रहे जितना कि मूल पिंड का है, तो उस दूरी 'K' को परिभ्रमण त्रिज्या कहते हैं।
I = M K2 ⇒ K = √(I / M)
अक्षों की प्रमेय (Theorems of Axes)
विभिन्न आकृतियों के लिए बार-बार जटिल समाकलन (Integration) करने से बचने के लिए, भौतिकी में दो बहुत ही उपयोगी प्रमेय (Theorems) दी गई हैं जो किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I) निकालने में मदद करती हैं:
लंबवत अक्षों की प्रमेय (Perpendicular Axes Theorem)
यह प्रमेय केवल 2D समतल (Planar / 2D) पटल के लिए लागू होती है (जैसे डिस्क, रिंग)। इसके अनुसार, किसी समतल पटल के लंबवत अक्ष (Z-अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण, पटल के तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों (X और Y) के परितः जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
Iz = Ix + Iy
Iz = Ix + Iy
समांतर अक्षों की प्रमेय (Parallel Axes Theorem)
यह प्रमेय किसी भी (3D या 2D) वस्तु के लिए लागू होती है। इसके अनुसार, किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I), उसके द्रव्यमान केंद्र (CoM) से गुजरने वाली समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (Icm) और पिंड के द्रव्यमान (M) व दोनों अक्षों के बीच की लंबवत दूरी (d) के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
I = Icm + M d2
I = Icm + M d2
घूर्णी गतिकी और गति के समीकरण
घूर्णी गति (Rotational Motion) के सूत्र बिल्कुल स्थानांतरीय गति (Translational Motion) के सूत्रों की 'नकल' (Analogous) होते हैं। यदि हम शब्दों को बदल दें (विस्थापन $\rightarrow$ कोणीय विस्थापन, वेग $\rightarrow$ कोणीय वेग, त्वरण $\rightarrow$ कोणीय त्वरण), तो हमें नए सूत्र रटने की आवश्यकता नहीं पड़ेगी।
| स्थानांतरीय गति (Linear) | घूर्णी गति (Rotational) | संबंध (Relation) |
|---|---|---|
| विस्थापन (s) | कोणीय विस्थापन (θ) | s = r θ |
| वेग (v) | कोणीय वेग (ω) | v = r ω |
| त्वरण (a) | कोणीय त्वरण (α) | a = r α |
| द्रव्यमान (m) | जड़त्व आघूर्ण (I) | I = Σmr2 |
| बल (F = ma) | बल आघूर्ण (τ = Iα) | τ = r × F |
| संवेग (p = mv) | कोणीय संवेग (L = Iω) | L = r × p |
| कार्य (W = F · s) | कार्य (W = τ · θ) | - |
| शक्ति (P = F · v) | शक्ति (P = τ · ω) | - |
| गतिज ऊर्जा (K = ½mv2) | घूर्णी गतिज ऊर्जा (Krot = ½Iω2) | - |
नियत कोणीय त्वरण के समीकरण (Kinematic Equations)
1. ω = ω0 + α t (रेखीय: v = u + at)
2. θ = ω0t + ½ α t2 (रेखीय: s = ut + ½at2)
3. ω2 = ω02 + 2 α θ (रेखीय: v2 = u2 + 2as)
2. θ = ω0t + ½ α t2 (रेखीय: s = ut + ½at2)
3. ω2 = ω02 + 2 α θ (रेखीय: v2 = u2 + 2as)
कोणीय संवेग संरक्षण (Conservation of Angular Momentum)
जैसे रेखीय संवेग के लिए हमने पढ़ा था (यदि Fext = 0, तो p = constant), उसी प्रकार यदि किसी निकाय पर बाहर से कोई 'बल आघूर्ण' (External Torque) न लगाया जाए (τext = 0), तो उस निकाय का कुल कोणीय संवेग (L) हमेशा नियत (Constant) रहता है।
L = I · ω = नियतांक (Constant)
⇒ I1 ω1 = I2 ω2
व्यावहारिक उदाहरण (Real-world Examples)
- आइस स्केटर (Ice Skater): जब एक डांसर बर्फ पर घूमती है और अचानक अपनी भुजाओं को शरीर के करीब (मोड़) लेती है, तो उसका द्रव्यमान अक्ष के करीब आ जाता है। इससे उसका जड़त्व आघूर्ण (I) कम हो जाता है। कोणीय संवेग (Iω) को नियत रखने के लिए, उसका कोणीय वेग (ω) अपने आप बढ़ जाता है और वह बहुत तेजी से घूमने लगती है।
- गोताखोर (Diver): स्विमिंग पूल में ऊंचाई से कूदता हुआ गोताखोर हवा में कलाबाजियां (Somersaults) खाने के लिए अपने शरीर को सिकोड़ कर गोलाकार कर लेता है। इससे I घटता है और ω बढ़ जाता है, जिससे वह पानी में गिरने से पहले कई चक्कर लगा लेता है।
लोटनिक गति (Rolling Motion)
जब एक कार का पहिया सड़क पर चलता है, तो वह केवल अपनी धुरी पर नहीं घूमता (Rotation), बल्कि वह आगे भी बढ़ता है (Translation)। लोटनिक गति वास्तव में घूर्णी गति और स्थानांतरीय गति का मिश्रित (Combined) रूप है।
पूर्ण लोटनिक गति (Pure Rolling) वह होती है जिसमें पहिए का जो बिंदु जमीन के संपर्क में है, उसका उस क्षण पर वेग शून्य (Zero) होता है (यानी पहिया फिसलता नहीं है)। इसके लिए शर्त है: vcm = r ω।
लोटनिक गति की कुल गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy of Rolling)
चूंकि वस्तु आगे भी बढ़ रही है और घूम भी रही है, इसलिए इसकी कुल गतिज ऊर्जा दोनों ऊर्जाओं का योग होती है:
KTotal = KTranslational + KRotational
KTotal = ½ M vcm2 + ½ Icm ω2
यदि हम I = MK2 (जहाँ K परिभ्रमण त्रिज्या है) और ω = v/R रखें, तो कुल गतिज ऊर्जा का सरल सूत्र प्राप्त होता है:
KTotal = ½ M v2 [1 + (K2/R2)]
KTotal = ½ M v2 [1 + (K2/R2)]
"ब्रह्मांड में गैलेक्सी (Galaxy) के घूमने से लेकर, परमाणु में इलेक्ट्रॉन के चक्रण तक—हर जगह घूर्णी गति का साम्राज्य है। द्रव्यमान केंद्र और कोणीय संवेग के नियम इस विशाल ब्रह्मांड को अराजकता से बचाते हैं।"
अध्याय का संपूर्ण सारांश (Chapter Summary)
इस अध्याय में हमने वास्तविकता की ओर एक कदम बढ़ाया और बिंदु द्रव्यमान की जगह 'दृढ़ पिंड' (Rigid Body) का अध्ययन किया। हमने देखा कि 'द्रव्यमान केंद्र' वह जादुई बिंदु है जो पूरे निकाय का प्रतिनिधित्व करता है। घूर्णी गति में द्रव्यमान की जगह 'जड़त्व आघूर्ण (I)', बल की जगह 'टॉर्क (τ)', और रेखीय संवेग की जगह 'कोणीय संवेग (L)' ले लेता है। कोणीय संवेग संरक्षण का नियम (Iω = नियत) आइस स्केटर जैसे व्यावहारिक उदाहरणों की व्याख्या करता है। अंत में हमने लोटनिक गति को घूर्णन और स्थानांतरण के संयोजन के रूप में समझा।
द्रव्यमान केंद्र (CoM)
संपूर्ण द्रव्यमान का केंद्र बिंदु
टॉर्क और संवेग
τ = r×F और L = Iω
जड़त्व आघूर्ण (I)
I = Σmr2 (घूर्णी द्रव्यमान)
संवेग संरक्षण
यदि τext = 0, तो L = नियत
अगला कदम (What's Next?)
अब तक हमने पृथ्वी पर मौजूद वस्तुओं की गतियों (सीधी, परवलयाकार, घूर्णी) का अध्ययन किया है। लेकिन न्यूटन की महानता केवल पृथ्वी तक सीमित नहीं थी। सेब के गिरने और चंद्रमा के पृथ्वी के चारों ओर घूमने के पीछे एक ही अदृश्य बल काम कर रहा है! अगले ब्रह्मांडीय अध्याय "गुरुत्वाकर्षण (Gravitation)" में हम न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम, केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों और उपग्रहों (Satellites) के विज्ञान की रोमांचक यात्रा पर चलेंगे।