गुरुत्वाकर्षण | Gravitation

Hemant Verma

16 May, 2026

F = G (m₁m₂ / r²) g = GM / R² v_e = √(2gR) T² ∝ R³

गुरुत्वाकर्षण
(Gravitation)

ब्रह्मांड को बांधे रखने वाला अदृश्य धागा और आकाशीय पिंडों का महाकाव्य

आकर्षण का सार्वभौमिक नियम

जिस बल ने सेब को जमीन पर गिराया, उसी बल ने चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर बांध रखा है।

प्रस्तावना और ग्रहों की गति के केप्लर के नियम

प्राचीन काल से ही मनुष्य रात के आकाश को देखकर आश्चर्यचकित होता रहा है। सदियों तक यह माना जाता था कि पृथ्वी ब्रह्मांड के केंद्र में है और सूर्य सहित सभी ग्रह इसके चारों ओर घूमते हैं (टॉलेमी का भू-केंद्री मॉडल)। लेकिन 16वीं सदी में निकोलस कॉपरनिकस ने सूर्य-केंद्री (Heliocentric) मॉडल दिया, जिसके अनुसार सभी ग्रह सूर्य की परिक्रमा करते हैं। बाद में, टाइको ब्राहे के सटीक खगोलीय प्रेक्षणों का उपयोग करते हुए, जोहान्स केप्लर (Johannes Kepler) ने ग्रहों की गति के तीन ऐतिहासिक नियम प्रतिपादित किए।

केप्लर के तीन नियम (Kepler's Laws)

1. कक्षाओं का नियम (Law of Orbits)

सभी ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार (Elliptical) कक्षाओं में चक्कर लगाते हैं, तथा सूर्य उस दीर्घवृत्त की किसी एक नाभि (Focus) पर स्थित होता है। (ग्रहों का पथ पूर्णतः गोल नहीं होता)।

2. क्षेत्रफलों का नियम (Law of Areas)

सूर्य और किसी ग्रह को मिलाने वाली रेखा समान समयांतराल में समान क्षेत्रफल (Equal Areas) तय करती है। इसका अर्थ है कि जब ग्रह सूर्य के पास (निकटतम बिंदु - Perihelion) होता है तो उसकी चाल बढ़ जाती है, और जब वह दूर (Aphelion) होता है तो उसकी चाल घट जाती है। यह नियम कोणीय संवेग संरक्षण (Conservation of Angular Momentum) पर आधारित है।

3. आवर्तकालों का नियम (Law of Periods)

किसी ग्रह के सूर्य के चारों ओर परिक्रमण काल (Time period, T) का वर्ग, उसकी दीर्घवृत्ताकार कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष (Semi-major axis, R) के घन (Cube) के अनुक्रमानुपाती होता है।

T² ∝ R³

न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम

केप्लर के नियम यह तो बताते थे कि ग्रह कैसे गति करते हैं, लेकिन यह नहीं बताते थे कि वे क्यों गति करते हैं। सर आइजैक न्यूटन ने केप्लर के नियमों और अपने गति के नियमों को मिलाकर एक सार्वभौमिक निष्कर्ष निकाला। उन्होंने सिद्ध किया कि ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को अपनी ओर आकर्षित करता है। इसी आकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण (Gravitation) कहते हैं।

गुरुत्वाकर्षण का नियम (Universal Law of Gravitation)

"ब्रह्मांड में किन्हीं भी दो पिंडों के बीच लगने वाला आकर्षण बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती (m₁ × m₂) तथा उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती (1 / r²) होता है।"

F = G ( m₁ m₂ / r² )

जहाँ G एक सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक (Universal Gravitational Constant) है। सार्वत्रिक इसलिए क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में, किसी भी माध्यम, तापमान या समय के लिए कभी नहीं बदलता।

G का मान: 6.67 × 10^-11 N·m²/kg²। (यह मान सबसे पहले हेनरी कैवेंडिश ने प्रयोग द्वारा निकाला था)।
गुरुत्व (Gravity): गुरुत्वाकर्षण किन्हीं भी दो पिंडों के बीच लगता है, लेकिन जब उन दो पिंडों में से एक हमारी पृथ्वी (Earth) हो, तो इस आकर्षण बल को 'गुरुत्व (Gravity)' नाम दिया जाता है।

गुरुत्वीय त्वरण (g) और इसके मान में परिवर्तन

जब कोई वस्तु पृथ्वी के गुरुत्व बल के कारण मुक्त रूप से नीचे गिरती है, तो उसके वेग में लगातार वृद्धि होती है। इस वृद्धि (त्वरण) को गुरुत्वीय त्वरण (Acceleration due to gravity, g) कहते हैं। पृथ्वी की सतह पर इसका औसत मान लगभग 9.8 m/s² होता है।

'g' और 'G' में संबंध

न्यूटन के द्वितीय नियम से बल (F) = mg. और गुरुत्वाकर्षण नियम से F = GMm/R² (जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान और R त्रिज्या है)।
दोनों को बराबर करने पर: mg = GMm / R² ⇒ g = GM / R²
ध्यान दें: इस सूत्र में वस्तु का द्रव्यमान 'm' कट गया है। इसका अर्थ है कि हल्की और भारी वस्तुएं निर्वात में एक ही त्वरण (g) से गिरेंगी।

'g' के मान में परिवर्तन (Variation of g)

गुरुत्वीय त्वरण 'g' का मान हर जगह समान नहीं रहता; यह विभिन्न कारकों पर निर्भर करता है:

1. ऊँचाई के साथ (Height, h)

पृथ्वी की सतह से ऊपर जाने पर 'g' का मान घटता है।

g' = g (1 - 2h/R)
(यह सूत्र तभी लागू है जब h << R)

2. गहराई के साथ (Depth, d)

सतह से खान (Mine) में नीचे जाने पर भी 'g' का मान घटता है।

g' = g (1 - d/R)
(पृथ्वी के केंद्र पर g का मान शून्य हो जाता है)।

3. आकार के कारण (Shape)

पृथ्वी पूरी तरह गोल नहीं, ध्रुवों पर चपटी है। ध्रुवीय त्रिज्या (R_p) भूमध्यरेखीय त्रिज्या (R_e) से कम है। चूँकि g ∝ 1/R², अतः ध्रुवों (Poles) पर 'g' अधिकतम और भूमध्य रेखा (Equator) पर न्यूनतम होता है।

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा और गुरुत्वीय विभव

हम पिछले अध्याय में पढ़ चुके हैं कि स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy) केवल संरक्षी बलों के लिए परिभाषित है। गुरुत्वाकर्षण बल एक पूर्णतः संरक्षी बल है। किसी वस्तु को अनंत (Infinity) से गुरुत्वीय क्षेत्र के किसी बिंदु तक लाने में जो कार्य (Work) प्राप्त होता है, उसे उस निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (U) कहते हैं।

U = - ( G M m ) / r

ऋणात्मक चिह्न (-) का क्या अर्थ है?

ऊर्जा के सूत्र में ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण एक आकर्षण बल (Attractive Force) है। वस्तु पृथ्वी के गुरुत्व क्षेत्र से बँधी (Bound) हुई है। यदि हमें वस्तु को पृथ्वी के प्रभाव से हमेशा के लिए मुक्त करना है, तो हमें बाहर से उतनी ही धनात्मक ऊर्जा (+GMm/r) देनी होगी। इस आवश्यक ऊर्जा को बंधन ऊर्जा (Binding Energy) कहते हैं।

गुरुत्वीय विभव (Gravitational Potential, V): एकांक द्रव्यमान (m = 1 kg) को अनंत से किसी बिंदु तक लाने में किए गए कार्य को गुरुत्वीय विभव कहते हैं। V = -GM / r।

पलायन वेग (Escape Velocity)

यदि आप एक पत्थर को ऊपर फेंकते हैं, तो वह वापस आ जाता है। यदि आप इसे और अधिक वेग से फेंकेंगे, तो यह और अधिक ऊंचाई तक जाएगा और फिर वापस आएगा। क्या हम इसे इतने वेग से फेंक सकते हैं कि यह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण को पार कर जाए और कभी लौटकर न आए? बिल्कुल! उस न्यूनतम वेग को ही पलायन वेग (Escape Velocity, v_e) कहते हैं।

ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत (K.E + P.E = 0) का उपयोग करके पलायन वेग निकाला जा सकता है:

v_e = √( 2GM / R ) = √( 2gR )

पृथ्वी के लिए मान: पृथ्वी की त्रिज्या (R = 6400 km) और g (9.8 m/s²) का मान रखने पर पलायन वेग लगभग 11.2 km/s (प्रति सेकंड) आता है। यानी एक रॉकेट को पृथ्वी की कक्षा से बाहर जाने के लिए इतनी गति की आवश्यकता होती है।

द्रव्यमान से स्वतंत्रता: पलायन वेग का सूत्र फेंकी जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान (m) पर निर्भर नहीं करता। यानी आप एक छोटी सी गेंद को अंतरिक्ष में भेजें या एक भारी हाथी को, दोनों को पलायन करने के लिए 11.2 km/s की ही गति चाहिए।

चंद्रमा पर वायुमंडल क्यों नहीं है? चंद्रमा पर गुरुत्व बल कम होने के कारण वहाँ पलायन वेग केवल 2.38 km/s है। गैस के अणुओं की तापीय गति (Thermal speed) इससे अधिक होती है, इसलिए वे चंद्रमा से बहुत पहले ही अंतरिक्ष में पलायन कर चुके हैं।

उपग्रह (Satellites) और कक्षीय वेग

कोई भी प्राकृतिक या कृत्रिम पिंड जो किसी ग्रह के चारों ओर अपनी कक्षा (Orbit) में चक्कर लगाता है, उपग्रह कहलाता है। चंद्रमा पृथ्वी का प्राकृतिक उपग्रह है, जबकि आर्यभट्ट, इनसैट (INSAT), चंद्रयान आदि मानव निर्मित (Artificial) उपग्रह हैं।

कक्षीय वेग (Orbital Velocity, v_o)

उपग्रह को पृथ्वी के चारों ओर अपनी कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल (Centripetal force) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल से प्राप्त होता है (mv_o²/r = GMm/r²)।

v_o = √( GM / r )

यदि कोई उपग्रह पृथ्वी की सतह के बहुत निकट चक्कर लगा रहा हो (r ≈ R), तो कक्षीय वेग v_o = √(gR) ≈ 7.9 km/s होता है। ध्यान दें कि v_e = √2 v_o (पलायन वेग, कक्षीय वेग का √2 गुना होता है)।

भू-स्थैतिक उपग्रह (Geostationary Satellite)

वह उपग्रह जिसका परिक्रमण काल पृथ्वी के अपने अक्ष पर घूमने के समय (24 घंटे) के बराबर होता है। यह विषुवत रेखा (Equator) के ऊपर लगभग 35,800 km की ऊंचाई पर स्थापित किया जाता है। पृथ्वी से देखने पर यह आसमान में एक ही जगह स्थिर प्रतीत होता है। इसका उपयोग संचार (Communication/DTH) के लिए होता है।

ध्रुवीय उपग्रह (Polar Satellite)

ये उपग्रह उत्तर-दक्षिण दिशा में ध्रुवों (Poles) के ऊपर से गुजरते हुए परिक्रमा करते हैं। इनकी ऊंचाई बहुत कम (500 से 800 km) होती है और इनका आवर्तकाल लगभग 100 मिनट होता है। ये रिमोट सेंसिंग, जासूसी, और सटीक मौसम की जानकारी (Weather Forecasting) के लिए उपयोग किए जाते हैं।

भारहीनता (Weightlessness)

अंतरिक्ष यात्रियों को उपग्रह के अंदर अपना वजन शून्य महसूस होता है। ऐसा इसलिए नहीं है कि वहाँ गुरुत्वाकर्षण नहीं है! वास्तव में, उपग्रह और उसके अंदर बैठा यात्री दोनों ही पृथ्वी की ओर समान गुरुत्वीय त्वरण (g') से मुक्त रूप से गिर रहे हैं (Free Fall)। जब सतह और यात्री दोनों समान त्वरण से नीचे गिर रहे हों, तो सतह द्वारा यात्री पर कोई अभिलंब प्रतिक्रिया (Normal Reaction, N) नहीं लगती। चूंकि हमारा भार वास्तव में यही अभिलंब प्रतिक्रिया (N=0) होती है, इसलिए यात्री को भारहीनता का अनुभव होता है।

"मैं नहीं जानता कि दुनिया मुझे किस रूप में देखेगी, लेकिन मैं अपने आप को एक ऐसे बालक के रूप में देखता हूँ जो समुद्र के किनारे खेल रहा है, और कभी-कभार कोई चिकना पत्थर या सुंदर सीप खोज लेता है, जबकि सत्य का एक विशाल महासागर मेरे सामने अभी भी अज्ञात पड़ा है।"

— सर आइजैक न्यूटन

अध्याय का संपूर्ण सारांश (Chapter Summary)

इस अध्याय में हमने गुरुत्वाकर्षण के उन रहस्यों को समझा जो पूरे ब्रह्मांड को नियंत्रित करते हैं। केप्लर के नियमों ने ग्रहों के परवलयाकार पथ और आवर्तकाल (T² ∝ R³) की नींव रखी। न्यूटन के सार्वत्रिक नियम (F = GMm/r²) ने सिद्ध किया कि यह बल ब्रह्मांड में हर जगह मौजूद है। हमने देखा कि गुरुत्वीय त्वरण (g) ऊंचाई, गहराई और पृथ्वी के आकार के साथ कैसे बदलता है। अंततः, हमने पलायन वेग (11.2 km/s) और कृत्रिम उपग्रहों की कक्षाओं तथा अंतरिक्ष में भारहीनता के विज्ञान का गहराई से विश्लेषण किया।

केप्लर के नियम

कक्षाएं, क्षेत्रफल और आवर्तकाल

न्यूटन का नियम

F = G(m₁m₂/r²)

पलायन वेग (v_e)

√(2gR) = 11.2 km/s

उपग्रह (Satellites)

भू-स्थैतिक (24hr) और ध्रुवीय

अगला कदम (What's Next?)

भाग-1 (Part 1) की यांत्रिकी (Mechanics) का भव्य सफर गुरुत्वाकर्षण के साथ यहाँ संपन्न होता है। हमने गति, बल, कार्य, ऊर्जा, घूर्णन और ग्रहों की गति को गहराई से समझ लिया है। भौतिकी की किताब के दूसरे भाग (Part 2) में हम 'द्रव्य के गुण (Properties of Matter)' की ओर बढ़ेंगे। अगले अध्याय "ठोसों के यांत्रिक गुण (Mechanical Properties of Solids)" में हम समझेंगे कि जब वस्तुओं पर बल लगाया जाता है, तो वे कैसे खिंचती हैं, दबती हैं, और 'प्रत्यास्थता (Elasticity)' क्या होती है।