प्रायिकता (Probability)
P(E) = n(E)/n(S)
P(A|B)
बेज़ प्रमेय (Bayes')
द्विपद बंटन
स्वतंत्र घटनाएँ
प्रायिकता (Probability)
अनिश्चितता का गणित: संभावनाओं, पूर्वानुमानों और संयोग के नियमों का विस्तृत अध्ययन
संयोग और नियति का विज्ञान
सिक्के उछालने से लेकर मशीन लर्निंग एल्गोरिदम तक का सफर
प्रस्तावना और इतिहास (Introduction & History)
क्या आज बारिश होगी? क्या भारतीय क्रिकेट टीम अगला वर्ल्ड कप जीतेगी? हमारे दैनिक जीवन में बहुत सी घटनाएँ ऐसी होती हैं जिनके परिणाम के बारे में हम निश्चित रूप से कुछ नहीं कह सकते। इसी 'अनिश्चितता' (Uncertainty) को गणितीय रूप से मापने की विधि को प्रायिकता (Probability) कहा जाता है।
रोचक बात यह है कि प्रायिकता के सिद्धांत का जन्म 17वीं शताब्दी में जुए और ताश के खेलों (Gambling) से जुड़ी समस्याओं को सुलझाने के लिए हुआ था। जब एक जुआरी ने फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल (Blaise Pascal) के सामने एक जटिल समस्या रखी, तो पास्कल ने पियरे डी फर्मा (Pierre de Fermat) के साथ मिलकर पत्र-व्यवहार के माध्यम से इस सिद्धांत की नींव रखी। आज यह सिद्धांत मौसम विज्ञान, शेयर बाजार, बीमा (Insurance), और आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस (AI) का मुख्य आधार बन चुका है।
आधारभूत शब्दावली (Basic Terminology)
प्रायिकता के नियमों को समझने के लिए हमें इसके कुछ विशेष शब्दों का अर्थ समझना आवश्यक है:
1. यादृच्छिक परीक्षण (Random Experiment)
एक ऐसा परीक्षण (Experiment) जिसके सभी संभावित परिणाम हमें पहले से ज्ञात हों, लेकिन किसी विशेष परीक्षण में कौन सा परिणाम आएगा, यह निश्चित रूप से न बताया जा सके।
उदाहरण: एक निष्पक्ष सिक्का (Unbiased Coin) उछालना या एक पासा (Dice) फेंकना।
2. प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space - S)
किसी यादृच्छिक परीक्षण के सभी संभव परिणामों के समुच्चय (Set) को प्रतिदर्श समष्टि कहते हैं। इसे प्रायः 'S' से दर्शाया जाता है।
उदाहरण: एक सिक्का उछालने पर S = {Head, Tail} या S = {H, T}।
एक पासा फेंकने पर S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}। यहाँ परिणामों की कुल संख्या n(S) = 6 है।
3. घटना (Event - E)
प्रतिदर्श समष्टि 'S' के किसी भी उपसमुच्चय (Subset) को घटना कहते हैं।
उदाहरण: पासा फेंकने पर "सम संख्या (Even number) आना" एक घटना E है। अतः E = {2, 4, 6}। यहाँ n(E) = 3 है।
घटनाओं के प्रकार (Types of Events):
असंभव घटना (Impossible)
वह घटना जो घटित ही नहीं हो सकती। इसे ∅ (Phi) से दर्शाते हैं। इसकी प्रायिकता 0 होती है। (जैसे पासे पर 7 आना)।
निश्चित घटना (Sure)
वह घटना जिसका घटित होना तय है। यह पूरा S ही होता है। इसकी प्रायिकता 1 होती है। (जैसे पासे पर 7 से कम आना)।
सरल घटना (Simple)
वह घटना जिसमें केवल एक ही परिणाम (Sample point) हो। (जैसे सिक्के पर ठीक H आना)।
मिश्र घटना (Compound)
वह घटना जिसमें एक से अधिक परिणाम शामिल हों। (जैसे पासे पर 3 से बड़ी संख्या आना)।
घटनाओं का बीजगणित और प्रायिकता की अभिगृहीतीय परिभाषा
चूँकि घटनाएँ वास्तव में समुच्चय (Sets) हैं, इसलिए उन पर 'समुच्चय सिद्धांत' (Set Theory) के सभी नियम लागू होते हैं।
| शब्द (Term) | समुच्चय रूप (Set Notation) | अर्थ (Meaning) |
|---|---|---|
| घटना A या घटना B | A ∪ B (Union) | A घटे, या B घटे, या दोनों घटें। (कम से कम एक) |
| घटना A और घटना B | A ∩ B (Intersection) | A और B दोनों एक साथ घटित हों। |
| घटना A नहीं (Not A) | A' या Ac (Complement) | S के वे सभी परिणाम जो A में नहीं हैं। |
| A घटे परन्तु B नहीं | A - B या A ∩ B' | केवल A का घटित होना। |
परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events)
दो घटनाएँ A और B 'परस्पर अपवर्जी' कहलाती हैं यदि वे एक साथ घटित नहीं हो सकतीं। अर्थात् उनमें कोई भी परिणाम उभयनिष्ठ (Common) नहीं होता।
गणितीय रूप में: A ∩ B = ∅ (शून्य समुच्चय)
उदाहरण: सिक्के पर 'Head आना' और 'Tail आना' परस्पर अपवर्जी हैं।
गणितीय रूप में: A ∩ B = ∅ (शून्य समुच्चय)
उदाहरण: सिक्के पर 'Head आना' और 'Tail आना' परस्पर अपवर्जी हैं।
प्रायिकता का मौलिक सूत्र (Classical Formula):
यदि किसी परीक्षण के सभी परिणाम समसंभाव्य (Equally likely) हैं, तो किसी घटना E की प्रायिकता P(E) निम्न प्रकार परिभाषित होती है:
P(E) = n(E) / n(S) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल संभव परिणामों की संख्या)
प्रायिकता के महत्वपूर्ण नियम (Axioms)
1. किसी भी घटना की प्रायिकता 0 से 1 के बीच होती है: 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. प्रतिदर्श समष्टि की प्रायिकता 1 होती है: P(S) = 1
3. घटना 'A' के न घटने की प्रायिकता: P(A') = 1 - P(A)
4. योग प्रमेय (Addition Theorem): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
(यदि A और B परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(A ∩ B) = 0 हो जाता है, अतः P(A ∪ B) = P(A) + P(B) होगा)।
2. प्रतिदर्श समष्टि की प्रायिकता 1 होती है: P(S) = 1
3. घटना 'A' के न घटने की प्रायिकता: P(A') = 1 - P(A)
4. योग प्रमेय (Addition Theorem): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
(यदि A और B परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(A ∩ B) = 0 हो जाता है, अतः P(A ∪ B) = P(A) + P(B) होगा)।
सप्रतिबंध प्रायिकता (Conditional Probability)
कक्षा 12 का पाठ्यक्रम सप्रतिबंध प्रायिकता से शुरू होता है। प्रायः हमें किसी घटना A की प्रायिकता ज्ञात करनी होती है, जब हमें यह पहले से पता हो कि एक अन्य घटना B घटित हो चुकी है। यह पूर्व जानकारी (Condition) हमारी प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) को छोटा (Restrict) कर देती है।
इसे P(A | B) द्वारा दर्शाया जाता है। इसे पढ़ा जाता है: "B के घटित होने पर A की प्रायिकता"।
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (जहाँ P(B) ≠ 0)
एक सरल उदाहरण से समझें
एक पासा फेंका गया। यदि हमें बताया जाए कि "सम संख्या (Even) आई है", तो क्या प्रायिकता है कि वह संख्या 4 से बड़ी है?
हल:
कुल समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
घटना B (जो घटित हो चुकी है - सम संख्या) = {2, 4, 6} ⇒ n(B) = 3
घटना A (जो ज्ञात करनी है - 4 से बड़ी) = {5, 6}
A और B में उभयनिष्ठ (A ∩ B) = {6} ⇒ n(A ∩ B) = 1
चूँकि B घटित हो चुकी है, हमारी नई दुनिया केवल {2, 4, 6} है। इसमें अनुकूल परिणाम केवल {6} है।
सूत्र से: P(A | B) = n(A ∩ B) / n(B) = 1 / 3
हल:
कुल समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
घटना B (जो घटित हो चुकी है - सम संख्या) = {2, 4, 6} ⇒ n(B) = 3
घटना A (जो ज्ञात करनी है - 4 से बड़ी) = {5, 6}
A और B में उभयनिष्ठ (A ∩ B) = {6} ⇒ n(A ∩ B) = 1
चूँकि B घटित हो चुकी है, हमारी नई दुनिया केवल {2, 4, 6} है। इसमें अनुकूल परिणाम केवल {6} है।
सूत्र से: P(A | B) = n(A ∩ B) / n(B) = 1 / 3
प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Theorem)
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र को ही क्रॉस-गुणा (Cross-multiply) करने पर हमें गुणन नियम प्राप्त होता है। यह दो घटनाओं के 'एक साथ' (A ∩ B) घटित होने की प्रायिकता बताता है।
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)
या P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B)
स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)
दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र (Independent) कहलाती हैं यदि एक घटना के घटित होने या न होने का प्रभाव दूसरी घटना की प्रायिकता पर न पड़े।
उदाहरण: एक सिक्का उछालना और एक पासा फेंकना। सिक्के पर Head आने का पासे के अंक पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। इसी प्रकार, ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालना और उसे वापस रखकर (With Replacement) दूसरा पत्ता निकालना स्वतंत्र घटनाएँ हैं। (यदि पत्ता वापस न रखा जाए, तो वे 'आश्रित' (Dependent) घटनाएँ बन जाती हैं)।
गणितीय शर्त: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
भ्रम निवारण (Pro Tip)
विद्यार्थी अक्सर 'परस्पर अपवर्जी' (Mutually Exclusive) और 'स्वतंत्र' (Independent) घटनाओं में भ्रमित हो जाते हैं।
• अपवर्जी (Exclusive): उनका एक साथ घटित होना असंभव है। $P(A \cap B) = 0$
• स्वतंत्र (Independent): वे एक साथ घटित हो सकती हैं, बस एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करतीं। $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
(शून्य प्रायिकता वाली घटनाओं को छोड़कर, दो घटनाएँ कभी भी एक साथ अपवर्जी और स्वतंत्र दोनों नहीं हो सकतीं)।
• अपवर्जी (Exclusive): उनका एक साथ घटित होना असंभव है। $P(A \cap B) = 0$
• स्वतंत्र (Independent): वे एक साथ घटित हो सकती हैं, बस एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करतीं। $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
(शून्य प्रायिकता वाली घटनाओं को छोड़कर, दो घटनाएँ कभी भी एक साथ अपवर्जी और स्वतंत्र दोनों नहीं हो सकतीं)।
संपूर्ण प्रायिकता और बेज़ प्रमेय (Bayes' Theorem)
प्रायिकता सिद्धांत में यह सबसे महत्वपूर्ण और शक्तिशाली प्रमेय है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोई घटना कई अलग-अलग रास्तों या कारणों से घटित हो सकती हो, और हमें घटना के घटित होने के बाद यह पता लगाना हो कि वह किस विशेष कारण से घटित हुई है। इसे "रिवर्स प्रायिकता" (Reverse Probability) भी कहते हैं।
संपूर्ण प्रायिकता का नियम (Law of Total Probability)
माना E1, E2, ..., En प्रतिदर्श समष्टि के विभाजन (Partition) हैं (अर्थात् ये परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं), और 'A' कोई सामान्य घटना है जो इनमें से किसी के भी साथ घटित हो सकती है।
तो A के घटित होने की कुल प्रायिकता:
P(A) = P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2) + ... + P(En)P(A|En)
बेज़ प्रमेय का सूत्र (Bayes' Formula)
यदि घटना 'A' घटित हो चुकी है, तो इसके विशेष कारण 'Ei' से घटित होने की प्रायिकता:
P(Ei | A) = [ P(Ei) × P(A | Ei) ] / P(A)
(जहाँ P(A) हर में संपूर्ण प्रायिकता है, जैसा ऊपर बताया गया है)।
बेज़ प्रमेय का उदाहरण:
प्रश्न: एक कारखाने में दो मशीनें A और B हैं। मशीन A कुल उत्पादन का 60% बनाती है और मशीन B 40% बनाती है। मशीन A का 2% माल खराब (defective) होता है और B का 3% माल खराब होता है। यदि उत्पादित ढेर में से एक खराब वस्तु निकाली गई, तो क्या प्रायिकता है कि वह मशीन B द्वारा बनाई गई थी?
हल:
E1 = वस्तु मशीन A ने बनाई। ⇒ P(E1) = 60/100 = 0.6
E2 = वस्तु मशीन B ने बनाई। ⇒ P(E2) = 40/100 = 0.4
घटना X = "वस्तु खराब है"।
मशीन A द्वारा खराब वस्तु: P(X|E1) = 2/100 = 0.02
मशीन B द्वारा खराब वस्तु: P(X|E2) = 3/100 = 0.03
हमें P(E2 | X) ज्ञात करना है।
बेज़ सूत्र से: P(E2 | X) = [ P(E2) × P(X|E2) ] / [ P(E1)P(X|E1) + P(E2)P(X|E2) ]
= [0.4 × 0.03] / [0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.03]
= 0.012 / [0.012 + 0.012]
= 0.012 / 0.024 = 1/2 (या 50%)
हल:
E1 = वस्तु मशीन A ने बनाई। ⇒ P(E1) = 60/100 = 0.6
E2 = वस्तु मशीन B ने बनाई। ⇒ P(E2) = 40/100 = 0.4
घटना X = "वस्तु खराब है"।
मशीन A द्वारा खराब वस्तु: P(X|E1) = 2/100 = 0.02
मशीन B द्वारा खराब वस्तु: P(X|E2) = 3/100 = 0.03
हमें P(E2 | X) ज्ञात करना है।
बेज़ सूत्र से: P(E2 | X) = [ P(E2) × P(X|E2) ] / [ P(E1)P(X|E1) + P(E2)P(X|E2) ]
= [0.4 × 0.03] / [0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.03]
= 0.012 / [0.012 + 0.012]
= 0.012 / 0.024 = 1/2 (या 50%)
यादृच्छिक चर और प्रायिकता बंटन (Random Variable & Probability Distribution)
यादृच्छिक चर (Random Variable - X): यह एक ऐसा फलन (Function) है जिसका प्रांत (Domain) किसी परीक्षण की प्रतिदर्श समष्टि (S) होती है और जिसका परिसर (Range) वास्तविक संख्याएँ (Real numbers) होती हैं। सरल शब्दों में, यह हर संभव परिणाम को एक संख्यात्मक मान (Numerical value) दे देता है।
उदाहरण: दो सिक्के उछालने पर "Heads की संख्या" को यदि X मानें, तो X के मान 0, 1, या 2 हो सकते हैं।
प्रायिकता बंटन (Probability Distribution)
जब हम X के सभी संभावित मानों (x1, x2... xn) के साथ उनकी संगत प्रायिकताओं (p1, p2... pn) को एक तालिका (Table) के रूप में लिखते हैं, तो उसे प्रायिकता बंटन कहते हैं।
अनिवार्य शर्त: Σ pi = 1 (सभी प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होना चाहिए) तथा $p_i \ge 0$।
माध्य या प्रत्याशा (Mean / Expectation)
इसे μ (म्यू) या E(X) से दर्शाते हैं। यह यादृच्छिक चर का औसत मान होता है।
μ = E(X) = Σ (xi × pi)
μ = E(X) = Σ (xi × pi)
प्रसरण (Variance)
इसे Var(X) या σ² से दर्शाते हैं। यह माध्य से विचलन को मापता है।
Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
जहाँ E(X²) = Σ (xi² × pi)
Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
जहाँ E(X²) = Σ (xi² × pi)
बर्नौली परीक्षण और द्विपद बंटन (Binomial Distribution)
बर्नौली परीक्षण (Bernoulli Trials): ऐसे परीक्षण जिनके केवल दो ही संभावित परिणाम होते हैं— 'सफलता' (Success) और 'असफलता' (Failure)। परीक्षण स्वतंत्र होने चाहिए और हर बार सफलता की प्रायिकता (p) समान रहनी चाहिए।
द्विपद बंटन का सूत्र (Formula)
यदि 'n' बर्नौली परीक्षणों में 'p' सफलता की प्रायिकता है और 'q' असफलता की (जहाँ q = 1 - p), तो ठीक 'r' सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता P(X = r) निम्न सूत्र से दी जाती है:
P(X = r) = nCr × pr × qn-r
(यह द्विपद प्रमेय (a+b)n के प्रसार का एक पद है, इसीलिए इसे द्विपद बंटन कहते हैं)।
द्विपद बंटन के विशेष गुण
द्विपद बंटन B(n, p) के लिए:
• माध्य (Mean) = np
• प्रसरण (Variance) = npq
• मानक विचलन (Standard Deviation) = √(npq)
• माध्य (Mean) = np
• प्रसरण (Variance) = npq
• मानक विचलन (Standard Deviation) = √(npq)
अध्याय का संपूर्ण सारांश (Chapter Summary)
प्रायिकता का यह विस्तृत अध्याय हमें अनिश्चितता को संख्याओं में बाँधना सिखाता है। हमने देखा कि कैसे समुच्चय सिद्धांत का उपयोग घटनाओं (Union, Intersection) को समझने के लिए होता है। सप्रतिबंध प्रायिकता ने हमें पूर्व जानकारी के आधार पर संभावनाओं को परिष्कृत (Refine) करना सिखाया, जो आगे चलकर बेज़ प्रमेय की नींव बनी—जिसका मशीन लर्निंग में गहरा उपयोग है। अंत में, यादृच्छिक चर और द्विपद बंटन ने हमें एक ही परीक्षण को बार-बार दोहराने पर एक समग्र चित्र (Big picture) प्रदान किया।
P(A ∩ B) = 0
परस्पर अपवर्जी घटनाएँ
P(A|B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
Bayes' Theorem
कारण की प्रायिकता
nCr pr qn-r
द्विपद बंटन (सफलता)
विद्यार्थी ध्यान दें (Pro Tip)
प्रायिकता के प्रश्नों में सबसे बड़ी गलती 'प्रतिदर्श समष्टि' (Sample Space) को पहचानने में होती है। हमेशा ध्यान से पढ़ें कि "स्वतंत्र घटनाएँ" दी गई हैं या "प्रतिस्थापन रहित" (Without replacement)। बेज़ प्रमेय के प्रश्नों में घटनाओं $E_1, E_2$ (कारण) और $A$ (अंतिम परिणाम) को लिख लेना प्रश्न को 80% हल कर देता है।