संबंध एवं फलन (Relations and Functions)
$R \subseteq A \times B$
स्वातुल्य · सममित · संक्रामक
एकैकी (One-One) · आच्छादक (Onto)
Class 11 & 12 Maths
सम्बन्ध एवं फलन (Relations & Functions)
Relations & Functions Complete Guide — क्रमित युग्म, संबंधों के प्रकार, फलनों के प्रकार व संयुक्त फलन
सम्बन्ध एवं फलन की अवधारणा में आपका स्वागत है
गणित और कलन (Calculus) को समझने की सबसे महत्वपूर्ण और बुनियादी नींव
1. कार्तिकी गुणन एवं सम्बन्ध (Cartesian Product & Relation)
कार्तिकी गुणन (Cartesian Product): दो अराकत समुच्चयों $A$ और $B$ का कार्तिकी गुणन $A \times B$ उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जिसमें $a \in A$ तथा $b \in B$ हो।
मुख्य सूत्र
• कार्तिकी गुणन: $A \times B = \{(a, b) : a \in A \text{ तथा } b \in B\}$
• यदि $n(A) = p$ तथा $n(B) = q$ हो, तो $n(A \times B) = p \times q$
• कुल सम्भावित सम्बन्धों की संख्या = $2^{p \times q}$
• यदि $n(A) = p$ तथा $n(B) = q$ हो, तो $n(A \times B) = p \times q$
• कुल सम्भावित सम्बन्धों की संख्या = $2^{p \times q}$
सम्बन्ध (Relation): समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में सम्बन्ध $R$, कार्तिकी गुणन $A \times B$ का एक उपसमुच्चय (Subset) होता है। ($R \subseteq A \times B$)
प्रांत, सह-प्रांत एवं परिसर (Domain, Codomain & Range)
प्रांत (Domain) → सम्बन्ध $R$ के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय $\{a : (a, b) \in R\}$
परिसर (Range) → सम्बन्ध $R$ के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय $\{b : (a, b) \in R\}$
सह-प्रांत (Codomain) → सम्पूर्ण समुच्चय $B$ (परिसर $\subseteq$ सह-प्रांत)
परिसर (Range) → सम्बन्ध $R$ के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय $\{b : (a, b) \in R\}$
सह-प्रांत (Codomain) → सम्पूर्ण समुच्चय $B$ (परिसर $\subseteq$ सह-प्रांत)
2. सम्बन्धों के प्रकार (Types of Relations)
1. रिक्त सम्बन्ध (Empty Relation)
यदि समुच्चय $A$ का कोई भी अवयव $A$ के किसी अवयव से सम्बन्धित न हो।
$R = \phi \subset A \times A$
2. सार्वत्रिक सम्बन्ध (Universal)
यदि $A$ का प्रत्येक अवयव $A$ के सभी अवयवों से सम्बन्धित हो।
$R = A \times A$
3. तत्समक सम्बन्ध (Identity)
यदि $A$ का प्रत्येक अवयव केवल और केवल स्वयं से सम्बन्धित हो।
$I_A = \{(a, a) : a \in A\}$
तुल्यता सम्बन्ध (Equivalence Relation) के तीन मुख्य अंग
यदि कोई सम्बन्ध निम्नलिखित तीनों नियमों का पालन करता है, तो उसे तुल्यता सम्बन्ध कहते हैं:
स्वातुल्य (Reflexive): प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$
सममित (Symmetric): यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$
संक्रामक (Transitive): यदि $(a, b) \in R$ तथा $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$
3. फलन की अवधारणा (Concept of Functions)
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में सम्बन्ध $f$ एक फलन (Function / Mapping) कहलाता है यदि समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव का समुच्चय $B$ में एक और केवल एक ही अद्वितीय प्रतिबिम्ब (Unique Image) हो।
फलन होने की कसौटी (Vertical Line Test)
• समुच्चय $A$ का कोई भी अवयव छूटना नहीं चाहिए।
• समुच्चय $A$ के किसी एक अवयव के दो अलग-अलग प्रतिबिम्ब $B$ में नहीं हो सकते।
• आलेखीय परीक्षण: यदि Y-अक्ष के समांतर खींची गई कोई रेखा ग्राफ को **केवल एक बिंदु** पर काटे, तो वह फलन है।
• समुच्चय $A$ के किसी एक अवयव के दो अलग-अलग प्रतिबिम्ब $B$ में नहीं हो सकते।
• आलेखीय परीक्षण: यदि Y-अक्ष के समांतर खींची गई कोई रेखा ग्राफ को **केवल एक बिंदु** पर काटे, तो वह फलन है।
4. फलनों के मुख्य प्रकार (Types of Functions)
1. एकैकी फलन (One-One / Injective)
$A$ के भिन्न-भिन्न अवयवों के प्रतिबिम्ब $B$ में भी भिन्न-भिन्न हों।
$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$
2. बहुएक फलन (Many-One)
$A$ के दो या दो से अधिक अवयवों का $B$ में एक ही प्रतिबिम्ब हो।
उदा: $f(x) = x^2$
3. आच्छादक फलन (Onto / Surjective)
$B$ का प्रत्येक अवयव $A$ के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब हो (परिसर = सह-प्रांत)।
Range = Codomain
4. अंतःक्षेपी फलन (Into)
$B$ में कम से कम एक अवयव ऐसा हो जो $A$ के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब न हो।
Range $\subset$ Codomain
एकैकी आच्छादी फलन (Bijective Function)
जो फलन एकैकी (One-One) और आच्छादक (Onto) दोनों होता है, उसे द्विऐकिक / एकैकी आच्छादी (Bijective) फलन कहते हैं। केवल बाइजेक्टिव फलनों का ही व्युत्क्रम (Inverse) संभव होता है।
5. संयुक्त फलन एवं व्युत्क्रमणीय फलन
1. संयुक्त फलन (Composition of Functions - $fog$ & $gof$)
यदि $f: A \to B$ तथा $g: B \to C$ दो फलन हों, तो उनका संयुक्त फलन $gof: A \to C$ द्वारा परिभाषित होता है:
सूत्र: $(gof)(x) = g(f(x)) \quad \forall x \in A$
सूत्र: $(fog)(x) = f(g(x)) \quad \forall x \in B$
• सामान्यतः $fog \neq gof$ (क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं होता)।
सूत्र: $(fog)(x) = f(g(x)) \quad \forall x \in B$
• सामान्यतः $fog \neq gof$ (क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं होता)।
2. व्युत्क्रमणीय फलन (Inverse Function - $f^{-1}$)
यदि $f: A \to B$ एक एकैकी आच्छादी (Bijective) फलन है, तो एक अद्वितीय फलन $g: B \to A$ का अस्तित्व इस प्रकार होता है कि:
$gof = I_A$ (तत्समक फलन $A$ पर)
$fog = I_B$ (तत्समक फलन $B$ पर)
तथा $g = f^{-1}$ लिखा जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
यदि $n(A) = 3$ हो, तो $A$ पर कुल कितने सम्बन्ध बन सकते हैं?
$A \times A$ में अवयवों की संख्या = $3 \times 3 = 9$। कुल सम्बन्धों की संख्या = $2^9 = \mathbf{512}$।
Q2
क्या प्रत्येक सम्बन्ध एक फलन होता है?
नहीं, प्रत्येक सम्बन्ध फलन नहीं होता। फलन होने के लिए प्रथम समुच्चय के प्रत्येक अवयव का अद्वितीय (Unique) प्रतिबिम्ब होना अनिवार्य है।
Q3
व्युत्क्रमणीय फलन (Inverse Function) होने की आवश्यक शर्त क्या है?
फलन का एकैकी (One-One) और आच्छादक (Onto) यानी Bijective होना अनिवार्य शर्त है।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
इस अध्याय को पढ़ने के बाद स्व-मूल्यांकन के लिए नीचे दिए गए बटनों पर क्लिक करके इस topic पर आधारित लाइव क्विज़ दें:
परीक्षा में बार-बार पूछे जाने वाले चुनिंदा प्रश्नों का टेस्ट दें:
डाउनलोड करें प्रीमियम स्टडी नोट्स PDF
क्या आप इस पूरे चैप्टर के व्यवस्थित सूत्रों, उदाहरणों और हल किए गए प्रश्नों की 'हैंडलिखित क्लास नोट्स' PDF ऑफलाइन पढ़ना चाहते हैं? नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करके मुफ्त डाउनलोड करें।
Download Relations Chapter PDF (Free)