क्रमचय और संचय | Permutations and Combinations
${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
${}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
फैक्टोरियल · बेगर्स नियम
सम्पूर्ण अध्याय
क्रमचय और संचय
(Permutations & Combinations)
(Permutations & Combinations)
Permutations & Combinations Complete Guide — अवधारणा, सूत्र, विशेष नियम, प्रमेय और अनुप्रयोग
गणना की अद्भुत गणितीय तकनीकें
व्यवस्था, चयन, ज्यामितीय नियम और एडवांस सिद्धांतों का संपूर्ण विश्लेषण
1. क्रमचय और संचय का परिचय एवं अंतर
क्रमचय (Permutations) और संचय (Combinations) गणित में गणना (Counting) तथा प्रायिकता (Probability) के अत्यंत महत्वपूर्ण भाग हैं। इनका प्रयोग यह जानने के लिए किया जाता है कि दी गई वस्तुओं को कितने अलग-अलग तरीकों से चुना या व्यवस्थित किया जा सकता है।
मूल अंतर की कुंजी
• क्रमचय (Permutation) = व्यवस्था (Arrangement): जहाँ वस्तुओं का क्रम (Order) महत्वपूर्ण होता है ($AB \neq BA$)।
• संचय (Combination) = चयन (Selection): जहाँ केवल चुनाव महत्वपूर्ण होता है, क्रम नहीं ($AB = BA$)।
• संचय (Combination) = चयन (Selection): जहाँ केवल चुनाव महत्वपूर्ण होता है, क्रम नहीं ($AB = BA$)।
| आधार (Basis) | क्रमचय (Permutation) | संचय (Combination) |
|---|---|---|
| अर्थ | दी गई वस्तुओं को निश्चित क्रम में सजाना। | दी गई वस्तुओं में से समूहों का चयन करना। |
| क्रम का महत्व | क्रम महत्वपूर्ण है ($AB \neq BA$)। | क्रम महत्वपूर्ण नहीं है ($AB = BA$)। |
| मुख्य शब्द | Arrange, Form, Code, Order | Select, Choose, Committee, Group |
गणना के मूलभूत सिद्धांत (Fundamental Principles of Counting)
गुणन का नियम (AND Rule)
यदि एक कार्य $m$ तरीकों से और दूसरा कार्य $n$ तरीकों से हो, तो दोनों कार्यों को एक साथ करने के तरीके:
कुल तरीके = $m \times n$
योग का नियम (OR Rule)
यदि एक कार्य $m$ तरीकों से या दूसरा $n$ तरीकों से (परस्पर अपवर्जी) हो सके, तो कुल तरीके:
कुल तरीके = $m + n$
2. फैक्टोरियल एवं क्रमचय (Permutations) के प्रकार व सूत्र
फैक्टोरियल (Factorial - $n!$) की अवधारणा
$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$
उदाहरण: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ | विशेष मान: $0! = 1$, $1! = 1$
उदाहरण: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ | विशेष मान: $0! = 1$, $1! = 1$
क्रमचय का मूल सूत्र: ${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
पुनरावृत्ति न हो (No Repetition)
$n$ अलग वस्तुओं में से $r$ को सजाना।
${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
पुनरावृत्ति की अनुमति हो
जब वस्तुओं को बार-बार इस्तेमाल किया जा सके।
कुल तरीके = $n^r$
समान वस्तुएं (Identical)
यदि $p, q, r$ वस्तुएं एक जैसी हों।
तरीके = $\frac{n!}{p! \times q! \times r!}$
वृत्तीय क्रमचय (Circular)
गोल मेज = $(n-1)!$
फूलों की माला = $\frac{(n-1)!}{2}$
$(n-1)!$ या $\frac{(n-1)!}{2}$
फूलों की माला = $\frac{(n-1)!}{2}$
3. संचय (Combinations) एवं इसके मुख्य गुणधर्म
कुल $n$ असमान वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के कुल तरीकों को ${}^n C_r$ से दर्शाते हैं:
मूल सूत्र & क्रमचय से संबंध
• संचय सूत्र: ${}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
• संबंध सूत्र: ${}^n P_r = {}^n C_r \times r!$ (अर्थात चयन $\times$ व्यवस्था)
• संबंध सूत्र: ${}^n P_r = {}^n C_r \times r!$ (अर्थात चयन $\times$ व्यवस्था)
संचय के महत्वपूर्ण गुणधर्म (Properties)
${}^n C_0 = 1$ तथा ${}^n C_n = 1$
${}^n C_1 = n$
${}^n C_r = {}^n C_{n-r}$ (पूरक संचय rule)
यदि ${}^n C_x = {}^n C_y \Rightarrow x = y$ या $x + y = n$
पास्कल का नियम: ${}^n C_r + {}^n C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$
कुल उपसमुच्चय: ${}^n C_0 + {}^n C_1 + \dots + {}^n C_n = 2^n$
4. विशेष एवं एडवांस्ड नियम (Advanced Concepts)
1. समूह विभाजन (Division into Groups)
• **असमान समूह:** $(m+n+p)$ वस्तुओं को $m, n, p$ आकार में बांटना = $\frac{(m+n+p)!}{m! \cdot n! \cdot p!}$
• **समान समूह (बिना नाम):** $3n$ वस्तुओं को $n, n, n$ के 3 समूहों में बांटना = $\frac{(3n)!}{(n!)^3 \cdot 3!}$
• **समान समूह (नाम/व्यक्तियों सहित):** तरीके = $\frac{(3n)!}{(n!)^3}$
• **समान समूह (बिना नाम):** $3n$ वस्तुओं को $n, n, n$ के 3 समूहों में बांटना = $\frac{(3n)!}{(n!)^3 \cdot 3!}$
• **समान समूह (नाम/व्यक्तियों सहित):** तरीके = $\frac{(3n)!}{(n!)^3}$
2. डीरेंजमेंट का नियम (Derangement Theorem)
सब कुछ गलत स्थान पर जाना ($D_n$)
$D_n = n! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right]$
उदाहरण: 4 पत्रों को 4 गलत लिफाफों में डालना ($D_4$) = $24 \times \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right) = 9$ तरीके।
उदाहरण: 4 पत्रों को 4 गलत लिफाफों में डालना ($D_4$) = $24 \times \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right) = 9$ तरीके।
3. टाई और गैप मेथड (Tie & Gap Method)
टाई मेथड (साथ रहें)
जिन वस्तुओं को साथ रखना हो, उन्हें 1 इकाई (Single Block) मान लें।
गैप मेथड (अलग रहें)
बाकी वस्तुओं को बैठाकर उनके बीच बने खाली स्थानों (Gaps) का उपयोग करें।
4. बेगर्स मेथड / सिक्के बांटने का नियम (Beggar's Method)
समान वस्तुओं का वितरण
• $n$ समान वस्तुओं को $r$ लोगों में बांटना (किसी को 0 भी मिले): **${}^{n+r-1} C_{r-1}$**
• यदि प्रत्येक को कम से कम 1 वस्तु मिले ($n \ge r$): **${}^{n-1} C_{r-1}$**
• यदि प्रत्येक को कम से कम 1 वस्तु मिले ($n \ge r$): **${}^{n-1} C_{r-1}$**
5. ज्यामितीय अनुप्रयोग एवं गुणनखंड नियम
ज्यामिति पर आधारित संचय के सूत्र
रेखाएं ($n$ बिंदु, $p$ संरेखी): ${}^n C_2 - {}^p C_2 + 1$
त्रिभुज ($p$ संरेखी): ${}^n C_3 - {}^p C_3$
बहुभुज में विकर्ण: ${}^n C_2 - n = \frac{n(n-3)}{2}$
समांतर चतुर्भुज: ${}^n C_2 \times {}^m C_2$
गुणनखंडों की संख्या (Number of Factors)
यदि $N = p^a \cdot q^b \cdot r^c$ (अभाज्य गुणनखंडन) हो:
सूत्र
• कुल गुणनखंड: $(a+1)(b+1)(c+1)$
• उचित गुणनखंड (Proper Factors): $(a+1)(b+1)(c+1) - 2$
• उचित गुणनखंड (Proper Factors): $(a+1)(b+1)(c+1) - 2$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
'MATHS' शब्द के अक्षरों से कुल कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
'MATHS' में कुल 5 अलग-अलग अक्षर हैं। पुनरावृत्ति न होने पर कुल क्रमचय = $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 =$ 120 शब्द।
Q2
10 खिलाड़ियों में से 11 खिलाड़ियों की टीम चुनना हो या 10 लोगों में हाथ मिलाना हो तो क्या इस्तेमाल होगा?
हाथ मिलाने या टीम बनाने में क्रम का महत्व नहीं होता, अतः यहाँ संचय (Combination - ${}^n C_r$) का प्रयोग किया जाएगा।
Q3
8 भुजाओं वाले बहुभुज (Octagon) में कितने विकर्ण होंगे?
सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ के अनुसार: $\frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} =$ 20 विकर्ण होंगे।
Q4
$0!$ (जीरो फैक्टोरियल) का मान 1 क्यों होता है?
फैक्टोरियल सूत्र $n! = \frac{(n+1)!}{n+1}$ में $n = 0$ रखने पर: $0! = \frac{1!}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
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परीक्षा में बार-बार पूछे जाने वाले चुनिंदा प्रश्नों का टेस्ट दें:
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