रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities)
< , >
≤ , ≥
ax + b < 0
x ∈ [a, b)
अर्ध-तल (Half Plane)
रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities)
समीकरणों की सीमाओं से परे: असमिकाओं के बीजगणितीय और आलेखीय हलों का संपूर्ण अन्वेषण
समानता (Equality) से असमानता (Inequality) तक
दैनिक जीवन की सीमाओं और शर्तों का गणितीय रूप
प्रस्तावना (Introduction)
पिछली कक्षाओं में हमने समीकरणों (Equations) का गहन अध्ययन किया है। हम जानते हैं कि एक समीकरण एक तराजू की तरह होता है, जिसके दोनों पलड़े बिल्कुल बराबर होते हैं (जैसे: $ax + b = 0$)। किन्तु, वास्तविक जीवन में हर स्थिति 'बराबर' नहीं होती। कई बार हमें सीमाओं, बजट, या शर्तों का सामना करना पड़ता है।
उदाहरण के लिए: मान लीजिए आप एक मेले में गए हैं और आपके पास कुल 200 रुपये हैं। यदि एक झूले की सवारी का टिकट 30 रुपये है और आपने 'x' बार सवारी की, तो आपका कुल खर्च $30x$ होगा। चूँकि आप 200 रुपये से अधिक खर्च नहीं कर सकते, इसलिए गणितीय रूप में इसे 30x ≤ 200 लिखा जाएगा। यह एक समीकरण नहीं है, बल्कि एक असमिका (Inequality) है।
असमिका की परिभाषा और प्रकार (Definition & Types of Inequalities)
वे गणितीय कथन जिनमें < (से कम), > (से अधिक), ≤ (से कम या बराबर), या ≥ (से अधिक या बराबर) के चिह्नों का प्रयोग होता है, 'असमिकाएं' कहलाते हैं। यदि असमिका में चर (Variable) की अधिकतम घात 1 हो, तो उसे रैखिक असमिका (Linear Inequality) कहते हैं।
असमिकाओं के मुख्य प्रकार:
कठोर / सुनिश्चित असमिकाएं (Strict Inequalities)
जिन असमिकाओं में केवल < या > चिह्न का प्रयोग होता है। इसमें 'बराबर' होने की संभावना नहीं होती।
उदा: ax + b < 0
उदा: 3x - 2 > 5
शिथिल असमिकाएं (Slack Inequalities)
जिन असमिकाओं में ≤ या ≥ चिह्न का प्रयोग होता है। इसमें 'बराबर' होने की छूट भी शामिल होती है।
उदा: ax + by ≤ c
उदा: 4x + 5 ≥ 12
चरों के आधार पर वर्गीकरण
1. एक चर वाली रैखिक असमिका (One Variable): जैसे $3x + 4 < 10$. इसमें केवल एक अज्ञात राशि (x) होती है।
2. दो चरों वाली रैखिक असमिका (Two Variables): जैसे $2x + 3y ≥ 6$. इसमें दो अज्ञात राशियां (x और y) होती हैं।
एक चर वाली असमिकाओं के बीजगणितीय हल के नियम (Algebraic Rules)
किसी असमिका को हल करने का अर्थ है 'x' के उन सभी संभव मानों को खोजना जो उस असमिका को सत्य (True) बनाते हैं। इन मानों के समुच्चय को हल समुच्चय (Solution Set) कहा जाता है। असमिकाओं को हल करते समय समीकरणों वाले ही नियम लगते हैं, लेकिन एक बहुत महत्वपूर्ण अपवाद (Exception) के साथ।
नियम 1: जोड़ और घटाव
किसी असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जा सकती है। इससे असमिका का चिह्न नहीं बदलता है।
(यदि $x < y$, तो $x + a < y + a$)
(यदि $x < y$, तो $x + a < y + a$)
नियम 2: धनात्मक संख्या से गुणा/भाग
असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक (Positive) संख्या से गुणा या भाग करने पर भी असमिका का चिह्न नहीं बदलता है।
(यदि $x < y$ और $a > 0$, तो $ax < ay$)
(यदि $x < y$ और $a > 0$, तो $ax < ay$)
नियम 3: ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग (सबसे महत्वपूर्ण नियम)
जब किसी असमिका के दोनों पक्षों को समान ऋणात्मक (Negative) संख्या से गुणा या भाग किया जाता है, तो असमिका का चिह्न पलट जाता है (Reverses)।
यदि $x < y$ और $a < 0$, तो $ax > ay$ हो जाएगा।
उदाहरण: हम जानते हैं कि 3 < 5 (सत्य है)। यदि हम दोनों तरफ -2 से गुणा करें, तो: -6 और -10 प्राप्त होगा। चूँकि -6 संख्या रेखा पर -10 से बड़ा है, इसलिए -6 > -10 होगा। (चिह्न < से > हो गया)।
यदि $x < y$ और $a < 0$, तो $ax > ay$ हो जाएगा।
उदाहरण: हम जानते हैं कि 3 < 5 (सत्य है)। यदि हम दोनों तरफ -2 से गुणा करें, तो: -6 और -10 प्राप्त होगा। चूँकि -6 संख्या रेखा पर -10 से बड़ा है, इसलिए -6 > -10 होगा। (चिह्न < से > हो गया)।
संख्या रेखा और अंतराल संकेतन (Number Line & Intervals)
एक चर वाली असमिकाओं के हलों को प्रायः संख्या रेखा (Number Line) पर दर्शाया जाता है। अनंत हलों को लिखने के लिए हम अंतराल (Interval) संकेतन का प्रयोग करते हैं।
| असमिका (Inequality) | अंतराल का नाम (Type) | संकेतन (Notation) | संख्या रेखा पर प्रदर्शन (On Number Line) |
|---|---|---|---|
| $a < x < b$ | विवृत अंतराल (Open Interval) | x ∈ (a, b) | a और b पर खाली/सफेद गोला (◯) |
| $a ≤ x ≤ b$ | संवृत अंतराल (Closed Interval) | x ∈ [a, b] | a और b पर भरा/काला गोला (●) |
| $a ≤ x < b$ | अर्ध-विवृत / अर्ध-संवृत | x ∈ [a, b) | a पर भरा गोला, b पर खाली गोला |
| $x ≥ a$ | अनंत तक संवृत | x ∈ [a, ∞) | a पर भरा गोला, और दाईं ओर तीर → |
| $x < a$ | माइनस अनंत तक विवृत | x ∈ (-∞, a) | a पर खाली गोला, और बाईं ओर तीर ← |
याद रखें (Note)
अनंत (∞) और माइनस अनंत (-∞) के साथ हमेशा छोटे कोष्ठक ( ) अर्थात् विवृत अंतराल (Open interval) का ही प्रयोग किया जाता है, क्योंकि अनंत कोई निश्चित संख्या नहीं है जिसे शामिल किया जा सके।
एक चर वाली असमिका का हल: एक उदाहरण
प्रश्न: हल कीजिए: $\frac{5x - 2}{3} - \frac{7x - 3}{5} > \frac{x}{4}$
चरण 1: हर (3, 5, 4) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 60 है।
चरण 2: पूरी असमिका को 60 से गुणा करने पर (चूँकि 60 धनात्मक है, चिह्न नहीं बदलेगा):
20(5x - 2) - 12(7x - 3) > 15x
चरण 3: कोष्ठक खोलने पर:
100x - 40 - 84x + 36 > 15x
चरण 4: समान पदों को जोड़ने पर:
16x - 4 > 15x
चरण 5: 15x को बाईं ओर और -4 को दाईं ओर ले जाने पर:
16x - 15x > 4
x > 4
चरण 2: पूरी असमिका को 60 से गुणा करने पर (चूँकि 60 धनात्मक है, चिह्न नहीं बदलेगा):
20(5x - 2) - 12(7x - 3) > 15x
चरण 3: कोष्ठक खोलने पर:
100x - 40 - 84x + 36 > 15x
चरण 4: समान पदों को जोड़ने पर:
16x - 4 > 15x
चरण 5: 15x को बाईं ओर और -4 को दाईं ओर ले जाने पर:
16x - 15x > 4
x > 4
उत्तर: यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो हल समुच्चय (4, ∞) होगा। संख्या रेखा पर 4 पर खाली गोला बनाकर दाईं ओर की रेखा को गहरा (bold) किया जाएगा।
दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल (Graphical Solution)
जब हमारे पास दो चर (x और y) होते हैं, जैसे $ax + by < c$, तो हम इसे संख्या रेखा पर नहीं, बल्कि कार्तीय तल (Cartesian Plane / XY-Plane) पर दर्शाते हैं। एक सरल रेखा $ax + by = c$ कार्तीय तल को दो भागों में बाँटती है। इनमें से प्रत्येक भाग को अर्ध-तल (Half Plane) कहा जाता है।
रेखा के प्रकार और सीमाएं
1. कठोर असमिका (< या >): इसके आलेख में सरल रेखा को बिंदुकित/टूटी हुई रेखा (Dashed Line / - - -) के रूप में बनाया जाता है। इसका अर्थ है कि रेखा पर स्थित बिंदु हल में शामिल नहीं हैं। इसे 'विवृत अर्ध-तल' कहते हैं।
2. शिथिल असमिका (≤ या ≥): इसके आलेख में सरल रेखा को गहरी/ठोस रेखा (Solid Line / ━━━) के रूप में बनाया जाता है। इसका अर्थ है कि रेखा पर स्थित बिंदु हल में शामिल हैं। इसे 'संवृत अर्ध-तल' कहते हैं।
आलेख बनाने के चरण (Steps to Graph):
Step 1: समीकरण मानें
असमिका के चिह्न को हटाकर उसे बराबर (=) का समीकरण मान लें ($ax + by = c$) और ग्राफ पेपर पर उसकी रेखा खींच लें।
Step 2: जाँच बिंदु (Test Point)
रेखा के किसी एक तरफ का कोई भी बिंदु चुनें (आमतौर पर मूलबिंदु (0,0) चुनना सबसे आसान होता है, बशर्ते रेखा मूलबिंदु से न गुजर रही हो)।
Step 3: सत्य/असत्य की जाँच
उस जाँच बिंदु (0,0) को मूल असमिका में रखें। यदि असमिका सत्य (True) सिद्ध होती है, तो हल क्षेत्र मूलबिंदु की ओर होगा।
Step 4: छायांकन (Shading)
यदि सत्य है, तो उस अर्ध-तल को रंग दें (shade करें) जिसमें जाँच बिंदु है। यदि असत्य है, तो उसके विपरीत (opposite) अर्ध-तल को रंग दें।
दो चरों वाली असमिकाओं के निकाय का हल (System of Linear Inequalities)
कई बार व्यावहारिक समस्याओं में एक से अधिक शर्तें होती हैं, जिसके कारण हमें एक साथ कई असमिकाएं (System of inequalities) प्राप्त होती हैं। निकाय का हल ढूँढने का अर्थ है कार्तीय तल में उस क्षेत्र को खोजना जो सभी दी गई असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट करता हो।
विधि: हम एक ही ग्राफ पेपर पर दी गई सभी असमिकाओं के आलेख (ग्राफ) खींचते हैं और उनके अलग-अलग हल क्षेत्रों को छायांकित (shade) करते हैं। अंत में, जो भाग सभी छायांकित क्षेत्रों में उभयनिष्ठ (Common/Intersecting) होता है, वही भाग पूरे निकाय का 'सुसंगत क्षेत्र' (Feasible Region) या हल क्षेत्र (Solution Region) कहलाता है।
प्रथम चतुर्थांश की शर्तें (Non-negative Constraints)
अधिकतर व्यावहारिक समस्याओं (जैसे दूरी, वजन, आयु, वस्तुओं की संख्या) में राशियाँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं। इसलिए प्रश्नों में प्रायः x ≥ 0 और y ≥ 0 असमिकाएं दी जाती हैं।
इन दोनों का संयुक्त अर्थ यह है कि हमारा पूरा हल क्षेत्र केवल प्रथम चतुर्थांश (First Quadrant) तक ही सीमित रहेगा।
इन दोनों का संयुक्त अर्थ यह है कि हमारा पूरा हल क्षेत्र केवल प्रथम चतुर्थांश (First Quadrant) तक ही सीमित रहेगा।
रैखिक असमिकाओं के अनुप्रयोग (Applications & Word Problems)
असमिकाएं केवल कोरे गणितीय समीकरण नहीं हैं, बल्कि ये इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र (Economics), मनोविज्ञान और रसायन विज्ञान की समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। आइए एक व्यावहारिक प्रश्न से इसे समझें।
व्यावहारिक प्रश्न (Word Problem)
प्रश्न: रवि ने पहली दो परीक्षाओं में 70 और 75 अंक प्राप्त किए हैं। वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए जो उसे तीसरी परीक्षा में पाने चाहिए ताकि उसका औसत कम से कम 60 अंक हो जाए।
हल की रूपरेखा (Formulation):
माना रवि तीसरी परीक्षा में 'x' अंक प्राप्त करता है।
औसत का सूत्र = (सभी अंकों का योग) / कुल परीक्षाएं
औसत = $\frac{70 + 75 + x}{3}$
शर्त के अनुसार, औसत "कम से कम 60" (अर्थात $\ge 60$) होना चाहिए।
अतः असमिका बनेगी: $\frac{145 + x}{3} \ge 60$
दोनों तरफ 3 से गुणा करने पर:
$145 + x \ge 180$
$x \ge 180 - 145$
$x \ge 35$
निष्कर्ष: रवि को तीसरी परीक्षा में 60 का औसत बनाए रखने के लिए कम से कम 35 अंक प्राप्त करने ही होंगे।
हल की रूपरेखा (Formulation):
माना रवि तीसरी परीक्षा में 'x' अंक प्राप्त करता है।
औसत का सूत्र = (सभी अंकों का योग) / कुल परीक्षाएं
औसत = $\frac{70 + 75 + x}{3}$
शर्त के अनुसार, औसत "कम से कम 60" (अर्थात $\ge 60$) होना चाहिए।
अतः असमिका बनेगी: $\frac{145 + x}{3} \ge 60$
दोनों तरफ 3 से गुणा करने पर:
$145 + x \ge 180$
$x \ge 180 - 145$
$x \ge 35$
निष्कर्ष: रवि को तीसरी परीक्षा में 60 का औसत बनाए रखने के लिए कम से कम 35 अंक प्राप्त करने ही होंगे।
अध्याय का संपूर्ण सारांश (Chapter Summary)
रैखिक असमिकाओं का यह अध्याय हमें कठोर समीकरणों से परे जाकर "कम से कम", "अधिकतम", "बजट", और "सीमाओं" जैसी वास्तविक जीवन की स्थितियों को गणितीय रूप देने की शक्ति प्रदान करता है। हमने सीखा कि माइनस (-) से गुणा या भाग करने पर चिह्न पलट जाता है, जो कि असमिकाओं का सबसे मुख्य नियम है। इसके अतिरिक्त, आलेखीय विधि से एक साथ कई शर्तों (निकायों) का समाधान खोजना कलन (Calculus) और रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) का आधार है।
चिह्न का पलटना
ऋणात्मक गुणा/भाग पर
विवृत अंतराल ( )
< या > होने पर
संवृत अंतराल [ ]
≤ या ≥ होने पर
उभयनिष्ठ क्षेत्र
निकाय का हल (Graph)