समतल में गति (सदिश और प्रक्षेप्य) | Motion in a Plane

Hemant Verma

16 May, 2026

R = √(A² + B² + 2AB cosθ) H = u² sin²θ / 2g T = 2u sinθ / g a_c = v² / r

समतल में गति
(Motion in a Plane)

सदिशों (Vectors) का जादू और प्रक्षेप्य (Projectile) का घुमावदार पथ

आयामों (Dimensions) का विस्तार

जब गति केवल एक सीधी रेखा में न होकर दो दिशाओं में एक साथ होती है, तो सदिश बीजगणित (Vector Algebra) की आवश्यकता होती है।

प्रस्तावना: अदिश और सदिश राशियाँ

पिछले अध्याय में हमने देखा कि यदि कोई वस्तु केवल एक सीधी रेखा में गति करती है, तो उसकी दिशा बताने के लिए केवल धनात्मक (+) या ऋणात्मक (-) चिह्न ही पर्याप्त होते हैं। लेकिन हमारी वास्तविक दुनिया 3D (त्रि-विमीय) है। जब कोई फुटबॉलर गेंद को किक मारता है या कोई नाव नदी पार करती है, तो उनकी गति एक समतल (Plane - 2D) में होती है। ऐसी गति को समझने के लिए साधारण बीजगणित (Algebra) काम नहीं आता; हमें एक नई गणितीय भाषा की आवश्यकता होती है जिसे सदिश (Vectors) कहते हैं।

अदिश राशियाँ (Scalars)

वे भौतिक राशियाँ जिन्हें पूरी तरह से व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण (Magnitude) की आवश्यकता होती है, दिशा की नहीं।

• उदाहरण: द्रव्यमान (5 kg), तापमान (30°C), समय (10 s), दूरी, कार्य, ऊर्जा आदि।
• इन्हें साधारण बीजगणितीय नियमों (जोड़, घटाव) से हल किया जा सकता है।

सदिश राशियाँ (Vectors)

वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है, और जो सदिश योग के नियमों (Vector addition laws) का पालन करती हैं।

• उदाहरण: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग आदि।
• नोट: विद्युत धारा में दिशा होती है, लेकिन यह सदिश योग के नियमों का पालन नहीं करती, इसलिए यह अदिश (Tensor) राशि है।

(नोट: इस लेख में सदिशों को दर्शाने के लिए हम गाढ़े अक्षरों (Bold Letters) जैसे A, v का उपयोग करेंगे, जबकि इनके परिमाण को सामान्य अक्षर A या |A| से दर्शाया जाएगा।)

सदिशों के प्रकार और एकांक सदिश

सदिशों के अध्ययन में कुछ विशिष्ट प्रकार के सदिशों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है:

समान सदिश (Equal Vectors)

दो सदिश A और B तभी समान कहलाते हैं जब उनके परिमाण (Magnitude) और दिशा (Direction) दोनों बिल्कुल एक जैसे हों।

शून्य सदिश (Null Vector)

एक ऐसा सदिश जिसका परिमाण शून्य (0) होता है। इसकी कोई निश्चित दिशा नहीं होती। इसे 0 से दर्शाया जाता है। (जैसे स्थिर वस्तु का वेग)।

एकांक सदिश (Unit Vector)

यह भौतिकी में सबसे ज्यादा उपयोग होने वाले सदिशों में से एक है। वह सदिश जिसका परिमाण केवल 1 (Unity) होता है, एकांक सदिश कहलाता है। इसका एकमात्र काम किसी राशि को 'दिशा' प्रदान करना है। इसे सदिश के ऊपर एक 'टोपी' (Cap / Hat) लगाकर दर्शाया जाता है।

सूत्र: Â = A / |A| (यानी सदिश को उसके परिमाण से भाग देने पर एकांक सदिश मिलता है)।

लंबकोणीय एकांक सदिश (Orthogonal Unit Vectors):
X-अक्ष, Y-अक्ष और Z-अक्ष की दिशाओं को दर्शाने के लिए क्रमशः î, ĵ, और k̂ (i-cap, j-cap, k-cap) का उपयोग किया जाता है।

सदिशों का योग (Vector Addition) और वियोजन

आप 5 किलो आलू में 3 किलो प्याज जोड़कर 8 किलो वजन प्राप्त कर सकते हैं (अदिश योग)। लेकिन यदि आप पूर्व में 5 मीटर जाते हैं और फिर उत्तर में 3 मीटर जाते हैं, तो आप अपने मूल स्थान से 8 मीटर दूर नहीं होते! यहाँ सदिश योग (Vector Addition) काम आता है।

सदिश योग के नियम

त्रिभुज नियम (Triangle Law): यदि दो सदिशों को किसी त्रिभुज की दो क्रमागत (Head-to-Tail) भुजाओं द्वारा निरूपित किया जाए, तो उनका परिणामी (Resultant) सदिश, विपरीत क्रम में ली गई त्रिभुज की तीसरी भुजा (Tail-to-Head) के बराबर होता है।
समांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law): यदि दो सदिश (A और B) एक ही बिंदु से प्रारंभ होते हैं और एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं को दर्शाते हैं, तो उनका परिणामी (R) उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण (Diagonal) द्वारा दर्शाया जाता है जो उसी बिंदु से होकर जाता है।

परिणामी का परिमाण: R = √(A² + B² + 2AB cosθ)

दिशा: tanα = (B sinθ) / (A + B cosθ)

जहाँ θ सदिश A और B के बीच का कोण है, और α परिणामी R का A के साथ कोण है।

सदिशों का वियोजन (Resolution of Vectors)

जिस प्रकार हम दो सदिशों को जोड़कर एक परिणामी बना सकते हैं, उसी प्रकार हम एक सदिश को दो (या तीन) लंबवत हिस्सों में तोड़ भी सकते हैं। इसे सदिशों का वियोजन कहते हैं। यह भौतिकी की सबसे शक्तिशाली तकनीकों में से एक है।

यदि कोई सदिश A, X-अक्ष के साथ θ कोण बनाता है, तो:

1. क्षैतिज घटक (Horizontal Component): A_x = A cosθ

2. ऊर्ध्वाधर घटक (Vertical Component): A_y = A sinθ

अतः हम लिख सकते हैं: A = A_xî + A_yĵ

सदिशों का गुणन (Vector Multiplication)

सदिशों का गुणा साधारण संख्याओं के गुणा से अलग होता है। जब हम दो सदिशों का गुणा करते हैं, तो परिणाम एक अदिश (Scalar) भी हो सकता है और एक नया सदिश (Vector) भी। इसी आधार पर इसके दो प्रकार हैं:

1. अदिश या डॉट गुणनफल (Dot Product)

जब दो सदिशों का गुणनफल एक अदिश राशि (Scalar Quantity) प्राप्त होता है, तो उसे डॉट गुणनफल कहते हैं।

सूत्र: A · B = AB cosθ

महत्वपूर्ण गुण:
• यदि दो सदिश परस्पर लंबवत (Perpendicular, θ = 90°) हैं, तो उनका डॉट गुणनफल शून्य (0) होता है। (चूंकि cos 90° = 0)।
• उदाहरण: कार्य (Work) एक अदिश राशि है, जो बल (F) और विस्थापन (s) का डॉट गुणनफल है: W = F · s।

2. सदिश या क्रॉस गुणनफल (Cross Product)

जब दो सदिशों का गुणनफल एक नई सदिश राशि प्राप्त होता है, तो उसे क्रॉस गुणनफल कहते हैं।

सूत्र: A × B = AB sinθ n̂

(जहाँ n̂ एक एकांक सदिश है जो A और B दोनों के तल के लंबवत होता है)।
महत्वपूर्ण गुण:
• यदि दो सदिश समानांतर (Parallel) हैं, तो उनका क्रॉस गुणन शून्य होता है (sin 0° = 0)।
• उदाहरण: बल आघूर्ण (Torque), τ = r × F।

समतल में एकसमान त्वरित गति (2D Kinematics)

अब चूँकि हम सदिशों के वियोजन को समझ चुके हैं, 2D गति का अध्ययन करना बहुत आसान हो जाता है। समतल में गति वास्तव में दो एक-विमीय (1D) गतियों का एक साथ होना है जो एक-दूसरे से पूरी तरह स्वतंत्र होती हैं (X-अक्ष की गति और Y-अक्ष की गति)। इस सिद्धांत को गैलीलियो (Galileo) ने प्रतिपादित किया था।

वेग का समीकरण: v = u + at
इसे घटकों में लिखने पर: v_x = u_x + a_xt और v_y = u_y + a_yt

स्थिति का समीकरण: r = r₀ + ut + ½at²
घटकों में: x = x₀ + u_xt + ½a_xt² और y = y₀ + u_yt + ½a_yt²

प्रक्षेप्य गति (Projectile Motion)

जब किसी वस्तु को क्षैतिज से कोई कोण (0° और 90° को छोड़कर) बनाते हुए हवा में फेंका जाता है, तो वह केवल गुरुत्वाकर्षण (Gravity) के प्रभाव में एक वक्र पथ (Curved path) पर गति करती है। इस वस्तु को प्रक्षेप्य (Projectile) कहते हैं और इसकी गति को प्रक्षेप्य गति। उदाहरण: तोप से छूटा गोला, भाला फेंक (Javelin Throw), या बल्ले से टकराकर छक्के के लिए जाती गेंद।

प्रक्षेप्य गति का विश्लेषण (X और Y घटकों में)

मान लीजिए किसी वस्तु को प्रारंभिक वेग 'u' से क्षैतिज के साथ 'θ' कोण पर फेंका गया है।

क्षैतिज गति (X-Axis): प्रारंभिक वेग u_x = u cosθ। चूंकि इस दिशा में हवा के घर्षण को नगण्य माना जाता है, इसलिए त्वरण a_x = 0 होता है। अतः क्षैतिज वेग (u cosθ) पूरी यात्रा के दौरान कभी नहीं बदलता।
ऊर्ध्वाधर गति (Y-Axis): प्रारंभिक वेग u_y = u sinθ। इस दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर लगता है, अतः त्वरण a_y = -g होता है। वस्तु पहले ऊपर जाती है (वेग घटता है), उच्चतम बिंदु पर वेग शून्य होता है, और फिर वस्तु नीचे गिरने लगती है (वेग बढ़ता है)।

प्रक्षेप्य का पथ (Equation of Trajectory)

यदि हम X और Y दिशाओं के समीकरणों से समय (t) को हटा दें, तो हमें प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण मिलता है:
y = (tanθ) x - [ g / (2u² cos²θ) ] x²
यह एक परवलय (Parabola) का गणितीय समीकरण (y = ax - bx²) है। अतः सिद्ध होता है कि प्रक्षेप्य का पथ हमेशा परवलयाकार होता है।

उड्डयन काल (Time of Flight, T)

हवा में रहने का कुल समय।

T = 2u sinθ / g

अधिकतम ऊँचाई (Maximum Height, H)

पथ का उच्चतम बिंदु।

H = u² sin²θ / 2g

क्षैतिज परास (Horizontal Range, R)

तय की गई कुल क्षैतिज दूरी。

R = u² sin(2θ) / g

अधिकतम परास (Maximum Range) कैसे प्राप्त करें?

सूत्र (R = u² sin(2θ) / g) में, R का मान अधिकतम तब होगा जब sin(2θ) का मान अधिकतम (यानी 1) हो।
sin(2θ) = 1 ⇒ 2θ = 90° ⇒ θ = 45°।
यही कारण है कि ओलंपिक में भाला फेंकने वाले (जैसे नीरज चोपड़ा) या लंबी कूद के एथलीट अपनी पूरी ऊर्जा का उपयोग करते हुए 45 डिग्री के कोण पर लॉन्च होने का प्रयास करते हैं ताकि वे अधिकतम दूरी (Range) तय कर सकें।

एकसमान वृत्तीय गति (Uniform Circular Motion)

जब कोई वस्तु किसी वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल (Constant Speed, v) से चलती है, तो उसकी गति को एकसमान वृत्तीय गति कहते हैं। उदाहरण: घड़ी की सेकंड वाली सुई की गति, या डोरी से बंधे पत्थर को गोल-गोल घुमाना।

क्या यह त्वरित गति है? हाँ! भले ही चाल (Speed) स्थिर है, लेकिन वृत्ताकार पथ पर हर बिंदु पर वेग की दिशा (Direction of Velocity) लगातार बदल रही है। चूंकि वेग एक सदिश राशि है, दिशा बदलने का अर्थ है वेग का बदलना। और वेग बदलने का अर्थ है कि इसमें एक त्वरण (Acceleration) मौजूद है।

कोणीय विस्थापन और कोणीय वेग

वस्तु द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोण को कोणीय विस्थापन (Δθ) कहते हैं (मात्रक: रेडियन)।

एकांक समय में तय किए गए कोणीय विस्थापन को कोणीय वेग (ω, Omega) कहते हैं।
ω = Δθ / Δt (मात्रक: rad/s)।
रेखीय वेग (v) और कोणीय वेग (ω) में संबंध: v = ω r

अभिकेंद्र त्वरण (Centripetal Acceleration)

वृत्तीय गति में दिशा बदलने के लिए जिम्मेदार त्वरण हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर (Towards the center) निर्देशित होता है। इसे अभिकेंद्र त्वरण (a_c) कहते हैं।

सूत्र: a_c = v² / r = ω² r
(जहाँ 'r' वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है)। इसी त्वरण के कारण लगने वाले बल को अभिकेंद्र बल (F = mv²/r) कहते हैं।

समतल (2D) में आपेक्षिक वेग

पिछले अध्याय में हमने 1D आपेक्षिक वेग (Relative Velocity) पढ़ा था (v_AB = v_A - v_B)। समतल में भी यही सूत्र काम करता है, बस यहाँ हमें इन राशियों को सदिश (Vectors) के रूप में घटाना होता है: v_AB = v_A - v_B। इसके दो बहुत प्रसिद्ध व्यावहारिक उदाहरण हैं:

1. वर्षा-मनुष्य समस्या (Rain-Man Problem)

मान लीजिए बारिश ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर (v_r) गिर रही है, और एक व्यक्ति सड़क पर क्षैतिज दिशा में (v_m) दौड़ रहा है। दौड़ते हुए व्यक्ति को बारिश सीधी नीचे नहीं, बल्कि अपने चेहरे पर तिरछी आती हुई महसूस होती है।

व्यक्ति के सापेक्ष बारिश का वेग: v_rm = v_r - v_m। बारिश से बचने के लिए व्यक्ति को अपना छाता ऊर्ध्वाधर (Vertical) से एक कोण θ पर झुकाना पड़ता है, जहाँ tanθ = v_m / v_r।

2. नदी-नाव समस्या (River-Boat Problem)

एक नाव नदी पार करना चाहती है। नाव का शांत जल में वेग v_b है और नदी के बहाव का वेग v_r है।

न्यूनतम समय (Shortest Time): यदि नाविक जल्द से जल्द पार करना चाहता है, तो उसे नदी के बहाव की परवाह किए बिना अपनी नाव को ठीक सामने वाले किनारे (90°) की ओर चलाना चाहिए। बहाव उसे थोड़ा आगे (Drift) ले जाएगा, लेकिन समय न्यूनतम (t = d / v_b) लगेगा।
न्यूनतम दूरी / ठीक सामने पहुंचना (Shortest Path): यदि नाविक ठीक सामने वाले बिंदु पर पहुंचना चाहता है, तो उसे अपनी नाव को बहाव की दिशा के विपरीत एक कोण (Angle) पर चलाना होगा, ताकि नाव का क्षैतिज घटक नदी के वेग को काट सके। (sinθ = v_r / v_b)।

"एक तीरंदाज का तीर, क्रिकेट की गेंद, और अंतरिक्ष में दागे गए रॉकेट—ये सभी सदिशों की अदृश्य भाषा और प्रक्षेप्य के ज्यामितीय नियमों का ही पालन करते हैं। समतल में गति यह सिद्ध करती है कि प्रकृति का गणित कितना सुंदर और सटीक है।"

— भौतिकी के सिद्धांत

अध्याय का संपूर्ण सारांश (Chapter Summary)

इस अध्याय में हमने भौतिकी को 1D से निकालकर 2D दुनिया में प्रवेश कराया। हमने अदिश और सदिश राशियों के बीच का अंतर समझा और सदिश योग (त्रिभुज व समांतर चतुर्भुज नियम) व गुणन (डॉट और क्रॉस) सीखे। हमने देखा कि 2D गति (प्रक्षेप्य गति) वास्तव में दो स्वतंत्र 1D गतियों का संयोजन है। प्रक्षेप्य पथ का परवलयाकार होना, 45 डिग्री पर अधिकतम परास, और वृत्तीय गति में अभिकेंद्र त्वरण की अवधारणा इस अध्याय के सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष हैं।

सदिश बीजगणित

(Vector Algebra)

योग, वियोजन और डॉट/क्रॉस गुणन

प्रक्षेप्य गति

(Projectile)

परवलयाकार पथ, T, H और R सूत्र

वृत्तीय गति

(Circular Motion)

लगातार दिशा बदलना (a_c = v²/r)

2D आपेक्षिक वेग

(Relative Velocity)

वर्षा-मनुष्य और नदी-नाव समस्याएं

अगला कदम (What's Next?)

अब तक हमने केवल यह अध्ययन किया है कि वस्तुएं "कैसे" गति करती हैं (Kinematics), लेकिन हमने यह नहीं पूछा कि वे गति "क्यों" करती हैं? प्रक्षेप्य हवा में क्यों गिरता है? त्वरण कहाँ से आता है? इन सभी 'क्यों' का जवाब हमें बलों (Forces) के अध्ययन से मिलेगा। अगले अध्याय "गति के नियम (Laws of Motion)" में हम महान वैज्ञानिक आइजैक न्यूटन के उन तीन ऐतिहासिक नियमों का अध्ययन करेंगे जो ब्रह्मांड की हर गति का मूल कारण स्पष्ट करते हैं।