विभाज्यता के नियम | Divisibility rules | Mathwayy

Hemant Verma
14 Jan, 2026
Divisibility Rules Rules 2 to 20 Prime Osculator Tricks Composite Rules
विभाज्यता के नियम
Divisibility Rules — 2 से 20 तक सभी नियम, अभाज्य संख्याओं की ट्रिक्स एवं परीक्षापयोगी उदाहरण
विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)
विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)
बिना भाग दिए बड़ी से बड़ी संख्या को जाँचने की सुपर-फ़ास्ट ट्रिक्स
प्रस्तावना एवं उपयोगिता (Introduction)
अंकगणित (Arithmetic) तथा संख्या पद्धति (Number System) में प्रश्नों को हल करते समय लंबी भाग प्रक्रिया से बचने और सेकंडों में यह पता लगाने के लिए कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से पूरी तरह विभाजित होगी या नहीं, विभाज्यता के नियमों (Divisibility Rules) का प्रयोग किया जाता है। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, UPSI, Railway, Banking) में सरलीकरण और अज्ञात अंक (x, y) ज्ञात करने वाले प्रश्नों में ये नियम अत्यंत उपयोगी सिद्ध होते हैं।
विभाज्यता का अर्थ (Meaning of Divisibility)
यदि किसी संख्या में किसी अन्य संख्या का भाग देने पर **शेषफल (Remainder) शून्य (0)** प्राप्त हो, तो कहा जाता है कि वह संख्या उससे पूर्णतः विभाज्य (Completely Divisible) है।
2 की घातों के नियम (Rules for 2, 4, 8, 16)
यह वर्ग अंत वाले अंकों (Last Digits) के परीक्षण पर आधारित नियम हैं:
2 से विभाज्यता (2¹)
संख्या का **अंतिम अंक (इकाई अंक)** 2 से विभाज्य हो, अर्थात् अंतिम अंक **0, 2, 4, 6, या 8** होना चाहिए।
• उदाहरण: 45862 (इकाई अंक = 2 ➔ विभाज्य है)।
4 से विभाज्यता (2²)
संख्या के **अंतिम दो अंक (Last 2 Digits)** 4 से पूरी तरह कटते हों या अंत में **00** हो।
• उदाहरण: 75432 (अंतिम दो अंक 32 / 4 = 8 ➔ विभाज्य है)।
8 से विभाज्यता (2³)
संख्या के **अंतिम तीन अंक (Last 3 Digits)** 8 से पूर्णतः विभाज्य हों या अंत में **000** हो।
• उदाहरण: 981512 (अंतिम 3 अंक 512 / 8 = 64 ➔ विभाज्य है)।
16 से विभाज्यता (2⁴)
संख्या के **अंतिम चार अंक (Last 4 Digits)** 16 से पूर्णतः विभाजित होते हों।
• उदाहरण: 4633216 (अंतिम 4 अंक 3216 / 16 = 201 ➔ विभाज्य है)।
अंकों के योग का नियम (Rules for 3 & 9)
ये नियम संख्या के सभी अंकों के कुल योगफल (Digital Sum) पर कार्य करते हैं:
3 से विभाज्यता का नियम
यदि दी गई संख्या के **सभी अंकों का योग (Sum of Digits)** 3 से पूर्णतः विभाजित हो जाए।
उदा. 54321 ➔ (5+4+3+2+1=15 / 3 = 5 ➔ विभाज्य)
9 से विभाज्यता का नियम
यदि दी गई संख्या के **सभी अंकों का योगफल** 9 से पूर्णतः कट जाता हो।
उदा. 28701 ➔ (2+8+7+0+1=18 / 9 = 2 ➔ विभाज्य)
5 और 10 से विभाज्यता के नियम
5 से विभाज्यता
जिस संख्या का अंतिम अंक (इकाई अंक) केवल 0 या 5 हो।
उदा. 8450, 7895
10 से विभाज्यता
जिस संख्या का अंतिम अंक (इकाई का अंक) केवल 0 (शून्य) हो।
उदा. 120, 5600
अभाज्य संख्याओं के नियम (Special Prime Rules: 7, 11, 13, 17, 19)
प्रतियोगी परीक्षाओं में अभाज्य संख्याओं के विभाज्यता नियम विशेष स्थान रखते हैं:
1. 7 से विभाज्यता (ऑस्कुलेटर −2)
इकाई के अंक को **2 से गुणा** करें और प्राप्त गुणनफल को शेष बची संख्या में से **घटा दें**। यदि परिणाम 0 या 7 से कटता है तो संख्या 7 से विभाज्य होगी।
उदाहरण (343): इकाई अंक = 3 ➔ (3 × 2 = 6) ➔ शेष संख्या = 34 − 6 = 28 (28 / 7 = 4 ➔ विभाज्य है)।
2. 11 से विभाज्यता (मास्टर नियम - C&D Difference)
संख्या के **सम स्थानों (Even Places) के अंकों का योग** और **विषम स्थानों (Odd Places) के अंकों के योग** का अंतर **0 या 11 का गुणज** होना चाहिए।
उदाहरण (1331): (1 + 3) − (3 + 1) = 4 − 4 = 0 (अतः 11 से पूर्ण विभाज्य है)।
3. 13 से विभाज्यता (ऑस्कुलेटर +4)
इकाई के अंक को **4 से गुणा** करें और शेष बची संख्या में **जोड़ दें**।
उदाहरण (169): इकाई अंक = 9 ➔ (9 × 4 = 36) ➔ 16 + 36 = 52 (52 / 13 = 4 ➔ विभाज्य है)।
4. 17 से विभाज्यता (ऑस्कुलेटर −5)
इकाई के अंक को **5 से गुणा** करके शेष बची संख्या में से **घटा दें**।
उदाहरण (1904): इकाई अंक = 4 ➔ (4 × 5 = 20) ➔ 190 − 20 = 170 (170 / 17 = 10 ➔ विभाज्य है)।
5. 19 से विभाज्यता (ऑस्कुलेटर +2)
इकाई के अंक को **2 से गुणा** करके शेष बची संख्या में **जोड़ दें**।
उदाहरण (361): इकाई अंक = 1 ➔ (1 × 2 = 2) ➔ 36 + 2 = 38 (38 / 19 = 2 ➔ विभाज्य है)।
संयुक्त/भाज्य संख्याओं के विभाज्यता नियम (Composite Rules: 6, 12, 15, 72, 88)
जब किसी भाज्य संख्या का नियम जाँचते हैं, तो उसे ऐसे दो **सह-अभाज्य (Co-Prime - HCF = 1)** गुणनखंडों में तोड़ते हैं जिनके नियम हमें ज्ञात हों:
6 से विभाज्यता
संख्या **2 और 3 दोनों** के नियमों का पालन करती हो। (इकाई अंक सम हो और अंकों का योग 3 से कटे)।
12 से विभाज्यता
संख्या **3 और 4 दोनों** से पूर्णतः विभाज्य हो। (12 = 3 × 4)।
72 से विभाज्यता (अति-महत्वपूर्ण)
संख्या **8 और 9 दोनों** से विभाजित होनी चाहिए। (अंतिम 3 अंक 8 से कटें तथा अंकों का योग 9 से कटे)।
88 से विभाज्यता
संख्या **8 और 11 दोनों** से पूर्णतः कटती हो। (88 = 8 × 11)।
विभिन्न प्रकार के हल किए गए उदाहरण (Step-by-Step Solved Examples)
उदा. 1 यदि 7-अंकों की संख्या 5432x12 संख्या 9 से पूर्णतः विभाज्य है, तो 'x' का मान ज्ञात कीजिए।
• 9 से विभाज्यता नियम: अंकों का योग 9 से कटना चाहिए।
• अंकों का योग = 5 + 4 + 3 + 2 + x + 1 + 2 = 17 + x
• 17 के पास 9 से कटने वाली अगली संख्या 18 है।
• 17 + x = 18 ➔ x = 1।
उदा. 2 क्या संख्या 48108, 11 से विभाज्य है?
• विषम स्थानों के अंकों का योग (1st, 3rd, 5th) = 4 + 1 + 8 = 13
• सम स्थानों के अंकों का योग (2nd, 4th) = 8 + 0 = 8
• अंतर = 13 − 8 = 5 (चूँकि अंतर न तो 0 है और न 11 का गुणज, अतः **विभाज्य नहीं है**)।
उदा. 3 यदि संख्या 8-अंकों वाली 78p531q2 संख्या 72 से पूर्ण विभाज्य है, तो (p + q) का मान क्या होगा?
• 72 = 8 × 9। 8 के नियम से अंतिम 3 अंक '1q2' 8 से कटने चाहिए ➔ q = 9 रखने पर 192 / 8 = 24.
• 9 के नियम से अंकों का योग = 7 + 8 + p + 5 + 3 + 1 + 9 + 2 = 35 + p.
• 35 + p को 36 (9 का गुणज) बनाने के लिए p = 1.
• p + q = 1 + 9 = 10।
तुलनात्मक सारणी: 2 से 20 तक विभाज्यता के नियम का मास्टर चार्ट
संख्या मुख्य परीक्षण शर्त उदाहरण
2इकाई अंक सम (0, 2, 4, 6, 8) हो।248
3अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।381 (3+8+1=12)
4अंतिम 2 अंक 4 से कटते हों।1324 (24/4=6)
5इकाई का अंक 0 या 5 हो।1025
62 और 3 दोनों के नियमों का पालन करे।162
7इकाई × 2 करके शेष में से घटाएँ (0 या 7 बचे)।343
8अंतिम 3 अंक 8 से कटते हों।7120 (120/8=15)
9अंकों का कुल योग 9 से विभाज्य हो।729 (7+2+9=18)
10इकाई अंक केवल 0 हो।580
11(विषम स्थानों का योग) − (सम स्थानों का योग) = 0 या 11 हो।1331
123 और 4 दोनों से विभाज्य हो।144
13इकाई × 4 करके शेष में जोड़ें।169
142 और 7 दोनों से विभाज्य हो।196
153 और 5 दोनों से विभाज्य हो।225
17इकाई × 5 करके शेष में से घटाएँ।1904
182 और 9 दोनों से विभाज्य हो।324
19इकाई × 2 करके शेष में जोड़ें।361
204 और 5 दोनों से विभाज्य हो (अंतिम अंक 0 तथा दहाई सम)।480
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1 क्या 0 (शून्य) सभी संख्याओं से विभाज्य है?
हाँ, शून्य (0) प्रत्येक शून्यतर (Non-zero) संख्या से पूर्णतः विभाज्य है (0 ÷ x = 0)। परंतु किसी भी संख्या में 0 से भाग देना गणित में अपरिभाषित (Undefined) है।
Q2 72 से विभाज्यता का परीक्षण करने की सबसे तेज विधि क्या है?
72 के सह-अभाज्य गुणनखंड 8 और 9 हैं। पहले अंतिम 3 अंकों में 8 का नियम लगाकर अज्ञात मान निकालें, फिर अंकों के योग में 9 का नियम लागू करें।
Q3 यदि कोई अंक लगातार 6 बार लिखा जाए (जैसे: 666666 या 777777), तो वह किन संख्याओं से कटेगा?
समान अंक की 6 बार पुनरावृत्ति से बनी संख्या सदैव 3, 7, 11, 13 और 37 से पूर्णतः विभाजित होती है।
Q4 4 और 8 के विभाज्यता नियमों में क्या मुख्य अंतर है?
4 के नियम में केवल **अंतिम दो अंक** देखे जाते हैं, जबकि 8 के नियम में **अंतिम तीन अंक** देखे जाते हैं।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
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