प्रस्तावना (Introduction)

हमारे दैनिक जीवन काम आने वाले सामान्य गणित अर्थात आरम्भिक गणित को हम संख्या पद्धति के अन्तर्गत अंकों बा संख्याओं के कुछ हद तक समझ गए है इसलिए अब हम तैयार संख्या पद्धति के अगले महत्वपूर्ण भाग (हिस्से) के बारे में जानने के लिए। आज हम संख्याओं के वर्गीकरण के बारे में पढेंगे। यदि आपने संख्या पद्धति का पहला भाग नहीं पढ़ा है तो पहले उस post को पढना ज़रूरी (संख्या पद्धति के बारे ने विस्तार से जानने के लिय यहाँ क्लिक करें - संख्या पद्धति )।

संख्याओं की तुलना (Comparison of Numbers)

संख्याओं की तुलना करना गणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। संख्याओं की तुलना करने के लिए हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:

तुलना के नियम
  • दो संख्याओं में जिस संख्या का मान अधिक होता है, वह संख्या बड़ी होती है।
  • दो संख्याओं में जिस संख्या का मान कम होता है, वह संख्या छोटी होती है।
  • यदि दो संख्याओं का मान समान हो तो वे संख्याएँ बराबर होती हैं।
  • दशमलव संख्याओं की तुलना करते समय पहले पूर्णांक भाग की तुलना करें।
  • यदि पूर्णांक भाग समान हों तो दशमलव के बाद के अंकों की तुलना करें।

उदाहरण: 345 और 356 की तुलना करें।

सैकड़े के स्थान पर दोनों संख्याओं में 3 है। दहाई के स्थान पर पहली संख्या में 4 और दूसरी में 5 है। चूंकि 4 < 5, इसलिए 345 < 356।

संख्याओं को बनाना (Formation of Numbers)

संख्याओं को बनाने के लिए हम अंकों का उपयोग करते हैं। अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 तक होते हैं। इन अंकों के विभिन्न संयोजनों से हम विभिन्न संख्याएँ बना सकते हैं।

संख्या बनाने के नियम
  • एक अंक वाली संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
  • दो अंकों वाली संख्याएँ: 10 से 99 तक
  • तीन अंकों वाली संख्याएँ: 100 से 999 तक
  • चार अंकों वाली संख्याएँ: 1000 से 9999 तक

उदाहरण: अंक 4, 7, 2 से बनने वाली सभी तीन अंकों वाली संख्याएँ: 472, 427, 742, 724, 247, 274

स्थानीय मान (Place Value)

किसी संख्या में प्रत्येक अंक का एक निश्चित स्थान होता है और उस स्थान के आधार पर उस अंक का मान निर्धारित होता है। इसे ही स्थानीय मान कहते हैं।

संख्या अंक स्थान स्थानीय मान
345 5 इकाई 5
345 4 दहाई 40
345 3 सैकड़ा 300
5,678 8 इकाई 8
5,678 7 दहाई 70
5,678 6 सैकड़ा 600
5,678 5 हज़ार 5,000
महत्वपूर्ण तथ्य
  • स्थानीय मान प्रणाली दशमलव प्रणाली पर आधारित है।
  • दाईं ओर से बाईं ओर जाने पर प्रत्येक स्थान का मान 10 गुना बढ़ जाता है।
  • बाईं ओर से दाईं ओर जाने पर प्रत्येक स्थान का मान 10 गुना कम हो जाता है।

संख्याओं को लिखना - भारतीय पद्धति और अंतर्राष्ट्रीय पद्धति

बड़ी संख्याओं को लिखने के लिए दो मुख्य पद्धतियाँ प्रचलित हैं - भारतीय पद्धति और अंतर्राष्ट्रीय पद्धति। दोनों पद्धतियों में संख्याओं के समूह बनाने और उनके नामकरण में अंतर है।

भारतीय पद्धति (Indian System)

भारतीय पद्धति में संख्याओं को समूहों में बांटा जाता है और प्रत्येक समूह के लिए अलग-अलग नाम होते हैं:

  • इकाई, दहाई, सैकड़ा
  • हज़ार (1,000)
  • लाख (1,00,000)
  • करोड़ (1,00,00,000)
  • अरब (1,00,00,00,000)
  • खरब (1,00,00,00,00,000)

उदाहरण: 5,67,89,432 - पाँच करोड़, सरसठ लाख, नवासी हज़ार, चार सौ बत्तीस

अंतर्राष्ट्रीय पद्धति (International System)

अंतर्राष्ट्रीय पद्धति में संख्याओं को तीन-तीन अंकों के समूहों में बांटा जाता है:

  • Units, Tens, Hundreds
  • Thousand (1,000)
  • Million (1,000,000)
  • Billion (1,000,000,000)
  • Trillion (1,000,000,000,000)

उदाहरण: 56,789,432 - पचपन मिलियन, सात सौ नवासी हज़ार, चार सौ बत्तीस

संख्या भारतीय पद्धति अंतर्राष्ट्रीय पद्धति
1,000 हज़ार Thousand
1,00,000 लाख Hundred Thousand
10,00,000 दस लाख One Million
1,00,00,000 करोड़ Ten Million
10,00,00,000 दस करोड़ Hundred Million
1,00,00,00,000 अरब One Billion

संख्याओं का वर्गीकरण

संख्याओं के अध्ययन में सरलता के लिए संख्याओं का वर्गीकरण की आवश्यकता होती है। इसलिए गणित के अन्तर्गत आने वाली संख्याओं का उनके गुणधर्मो के आधार पर इन्हें कई प्रकार के वर्गों में वर्गीकृत किया गया है। संख्याओं के वर्गीकरण के बारे में विस्तृत वर्णन निम्नलिखित है–

संख्याओं को मुख्य रूप से 12 वर्गों में वर्गीकृत किया गया है जो इस प्रकार है:

प्राकृतिक संख्याएं

गिनती करने में उपयोग होने वाली संख्याएँ (1, 2, 3,...)

पूर्ण संख्याएं

प्राकृतिक संख्याएं + शून्य (0, 1, 2, 3,...)

पूर्णांक संख्याएं

धनात्मक व ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ (-∞,..., -1, 0, 1,...∞)

सम संख्याएं

2 से विभाज्य होने वाली संख्याएँ (2, 4, 6,...)

विषम संख्याएं

2 से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ (1, 3, 5,...)

अभाज्य संख्याएं

वे संख्याएँ जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं (2, 3, 5, 7,...)

भाज्य संख्याएं

वे संख्याएँ जिनके तीन या अधिक गुणनखंड होते हैं (4, 6, 8, 9,...)

सह-अभाज्य संख्याएं

जिन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 हो (3,4), (12,19)

परिमेय संख्याएं

p/q रूप में व्यक्त की जा सकने वाली संख्याएँ (5/4, 3.5, 4)

अपरिमेय संख्याएं

जिन्हें p/q रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता (√3, √5, 5.333...)

वास्तविक संख्याएं

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह

काल्पनिक संख्याएं

ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल से बनी संख्याएँ (√-3, √-5)