समय और कार्य | Time & Work | Mathwayy
Time & Work
Efficiency & LCM Method
MDH Formula
Pipes & Cisterns
कार्य और समय
Time & Work — मूल अवधारणाएँ, कार्य क्षमता, LCM मेथड, MDH मसाला सूत्र, मजदूरी बंटवारा एवं ट्रिक्स
कार्य और समय (Time & Work)
कार्य क्षमता और समय निष्पादन का व्यावहारिक अंकगणित
प्रस्तावना एवं मूल अवधारणाएँ (Basic Concepts)
व्यावहारिक जीवन और प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, UPSI, Railway, Banking) में कार्य और समय (Time and Work) अति-महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। किसी दिए गए कार्य को पूरा करने में लगा समय और कार्य करने वाले व्यक्ति की क्षमता का आपस में विपरीत संबंध होता है।
कार्य और समय का मूलभूत नियम (Fundamental Rule)
• **1-दिन का कार्य (1 Day's Work):** यदि कोई व्यक्ति किसी कार्य को 'n' दिनों में समाप्त करता है, तो उसके 1 दिन का कार्य 1 / n होगा।
• **कुल समय (Total Days):** यदि किसी व्यक्ति का 1 दिन का कार्य 1 / n है, तो उसे पूरा काम समाप्त करने में 'n' दिन लगेंगे।
• **कुल कार्य (Total Work) = समय × कार्य क्षमता (Efficiency)**।
• **कुल समय (Total Days):** यदि किसी व्यक्ति का 1 दिन का कार्य 1 / n है, तो उसे पूरा काम समाप्त करने में 'n' दिन लगेंगे।
• **कुल कार्य (Total Work) = समय × कार्य क्षमता (Efficiency)**।
कार्य क्षमता (Efficiency) और समय में संबंध
किसी व्यक्ति की कार्य करने की गति को उसकी कार्य क्षमता (Efficiency) कहते हैं। कार्य क्षमता समय के व्युत्क्रमानुपाती (Inversely Proportional) होती है:
क्षमता और समय का अनुपात
यदि A और B की कार्य क्षमताओं का अनुपात a : b है, तो उसी कार्य को पूरा करने में उनके द्वारा लिए गए समय का अनुपात b : a होगा।
सिद्धांत: जिसकी कार्य क्षमता जितनी अधिक होगी, उसे काम पूरा करने में उतना ही कम समय लगेगा।
प्रतिशत कार्य क्षमता ट्रिक
यदि A, B से **50% अधिक कार्य कुशल** है:
• B की क्षमता = 100 ➔ A की क्षमता = 150
• क्षमता का अनुपात (A : B) = 150 : 100 = **3 : 2**
• लिए गए समय का अनुपात (A : B) = **2 : 3**।
• B की क्षमता = 100 ➔ A की क्षमता = 150
• क्षमता का अनुपात (A : B) = 150 : 100 = **3 : 2**
• लिए गए समय का अनुपात (A : B) = **2 : 3**।
मास्टर तकनीक: LCM (एलसीएम) या इकाई कार्य विधि
भिन्नों के कठिन जोड़-घटाव से बचने के लिए LCM विधि से प्रश्नों को मात्र 10 सेकंड में हल करें:
LCM विधि के चरण (Step-by-Step LCM Method)
1. दिए गए सभी दिनों का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालें। यह LCM ही आपका **"कुल कार्य (Total Units of Work)"** मान लिया जाता है।
2. कुल कार्य में प्रत्येक व्यक्ति के दिनों से भाग देकर उनकी **1-दिन की क्षमता (Units/Day)** ज्ञात करें।
3. अभीष्ट समय = **[ कुल कार्य (Total Units) / कुल प्रतिदिन क्षमता (Total Units/Day) ]**।
उदाहरण द्वारा समझें
A किसी काम को 10 दिन में और B उसे 15 दिन में करता है। दोनों मिलकर कितने दिन में करेंगे?
• 10 और 15 का **LCM = 30 इकाइयाँ** (माना कुल कार्य = 30 units)
• A की 1 दिन की क्षमता = 30 / 10 = **3 units/day**
• B की 1 दिन की क्षमता = 30 / 15 = **2 units/day**
• दोनों की कुल क्षमता = 3 + 2 = **5 units/day**
• कुल समय = 30 / 5 = 6 दिन।
• 10 और 15 का **LCM = 30 इकाइयाँ** (माना कुल कार्य = 30 units)
• A की 1 दिन की क्षमता = 30 / 10 = **3 units/day**
• B की 1 दिन की क्षमता = 30 / 15 = **2 units/day**
• दोनों की कुल क्षमता = 3 + 2 = **5 units/day**
• कुल समय = 30 / 5 = 6 दिन।
M-D-H मसाला सूत्र (Compound Proportion Formula)
जब व्यक्तियों की संख्या (Men), दिनों की संख्या (Days), प्रतिदिन कार्य के घंटे (Hours), क्षमता (Efficiency) तथा कार्य (Work) दिए गए हों:
M₁D₁H₁E₁ / W₁ = M₂D₂H₂E₂ / W₂
• M (Men): कार्य करने वाले व्यक्तियों की संख्या
• D (Days): कुल दिनों की संख्या
• H (Hours): प्रतिदिन किए गए काम के घंटे
• E (Efficiency): व्यक्तियों की कार्य क्षमता
• W (Work): कुल संपादित कार्य या निर्मित वस्तुएं (या मजदूरी)
प्रतियोगी परीक्षाओं के विभिन्न प्रकार (Special Problem Types)
1. काम छोड़कर जाने वाले प्रश्न
• **काम समाप्त होने से पहले जाए:** जाने वाले व्यक्ति के उतने दिनों के काम को कुल काम में **जोड़ दें**।
• **काम शुरू होने के कुछ दिन बाद जाए:** जाने वाले के किए गए काम को कुल काम में से **घटा दें** और उसे हटा दें।
Before/After Leaving Tricks
• **काम शुरू होने के कुछ दिन बाद जाए:** जाने वाले के किए गए काम को कुल काम में से **घटा दें** और उसे हटा दें।
2. बारी-बारी (Alternate Days) काम करना
जब A पहले दिन और B दूसरे दिन काम करे। इसमें **2-दिन का एक चक्र (Cycle)** मानकर कुल इकाइयों की गणना की जाती है।
Alternate Working Days
3. मजदूरी का बंटवारा (Wages Distribution)
कुल मजदूरी का विभाजन सदैव व्यक्तियों द्वारा किए गए **कुल कार्य के अनुपात** या उनकी **कार्य क्षमता (Efficiency) के अनुपात** में ही होता है।
Wages ∝ Efficiency
4. पाइप और टंकी (Pipes & Cisterns)
• **भरने वाला पाइप (Inlet):** धनात्मक (+) कार्य करता है।
• **खाली करने वाला पाइप (Outlet):** ऋणात्मक (−) कार्य करता है।
Inlet (+), Outlet (−)
• **खाली करने वाला पाइप (Outlet):** ऋणात्मक (−) कार्य करता है।
विभिन्न प्रकार के हल किए गए उदाहरण (Step-by-Step Solved Examples)
उदा. 1
A किसी काम को 12 दिन में तथा B उसे 24 दिन में कर सकता है। दोनों साथ मिलकर काम शुरू करते हैं, परंतु 3 दिन बाद A काम छोड़ देता है। शेष काम B कितने दिनों में पूरा करेगा?
• 12 और 24 का LCM = 24 units (कुल कार्य)
• A की क्षमता = 24/12 = 2 units/day | B की क्षमता = 24/24 = 1 unit/day
• दोनों की 3 दिन का काम = (2 + 1) × 3 = 3 × 3 = 9 units
• शेष कार्य = 24 − 9 = 15 units
• B द्वारा लिया गया शेष समय = 15 / 1 (B की क्षमता) = 15 दिन।
• A की क्षमता = 24/12 = 2 units/day | B की क्षमता = 24/24 = 1 unit/day
• दोनों की 3 दिन का काम = (2 + 1) × 3 = 3 × 3 = 9 units
• शेष कार्य = 24 − 9 = 15 units
• B द्वारा लिया गया शेष समय = 15 / 1 (B की क्षमता) = 15 दिन।
उदा. 2
12 पुरुष प्रतिदिन 8 घंटे काम करके किसी कार्य को 10 दिन में पूरा कर सकते हैं। 15 पुरुष प्रतिदिन 6 घंटे काम करके उसी कार्य को कितने दिनों में पूरा करेंगे?
• M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂ सूत्र से:
• 12 × 10 × 8 = 15 × D₂ × 6
• 960 = 90 × D₂ ➔ D₂ = 960 / 90 = 32 / 3 = 10 (2/3) दिन।
• 12 × 10 × 8 = 15 × D₂ × 6
• 960 = 90 × D₂ ➔ D₂ = 960 / 90 = 32 / 3 = 10 (2/3) दिन।
उदा. 3
A की कार्य क्षमता B से दोगुनी है। यदि दोनों मिलकर किसी काम को 12 दिनों में समाप्त कर सकते हैं, तो A अकेला उसे कितने दिन में करेगा?
• क्षमता अनुपात (A : B) = 2 : 1 ➔ कुल क्षमता = 2 + 1 = 3 units/day
• कुल कार्य = कुल क्षमता × समय = 3 × 12 = 36 units
• A अकेला समय लेगा = 36 / 2 (A की क्षमता) = 18 दिन।
• कुल कार्य = कुल क्षमता × समय = 3 × 12 = 36 units
• A अकेला समय लेगा = 36 / 2 (A की क्षमता) = 18 दिन।
तुलनात्मक सारणी: समय और कार्य के मुख्य सूत्र
| प्रकार / स्थिति | दिया गया मान | सूत्र / ट्रिक |
|---|---|---|
| A और B मिलकर कार्य करें | A = x दिन, B = y दिन | (x × y) / (x + y) दिन |
| A, B और C मिलकर कार्य करें | A = x, B = y, C = z दिन | (x × y × z) / (xy + yz + zx) दिन |
| दोनों का मिलकर समय (x), A अकेला (y) | A+B = x दिन, A = y दिन | B अकेला = (x × y) / (y − x) दिन |
| पुरुष / महिला अथवा प्रश्न (Or Concepts) | m₁ पुरुष या w₁ महिला = D दिन | m₂ पुरुष + w₂ महिला = D / [ (m₂/m₁) + (w₂/w₁) ] |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
कार्य क्षमता और समय में क्या संबंध होता है?
कार्य क्षमता और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (Inversely Proportional) होते हैं। क्षमता अधिक होने पर समय कम लगता है।
Q2
मजदूरी का बंटवारा किस आधार पर किया जाता है?
मजदूरी का बंटवारा सदैव साझेदारों द्वारा किए गए कुल कार्य या उनकी 1-दिन की कार्य क्षमता (Efficiency) के अनुपात में किया जाता है।
Q3
यदि कोई व्यक्ति काम खत्म होने से 2 दिन पहले भाग जाए तो क्या ट्रिक है?
काम खत्म होने से पहले जाने वाले व्यक्ति का जितने दिन का काम बचा हो, उसे कुल काम में जोड़ दें और अंत तक उसकी उपस्थिति मानकर हल करें।
Q4
पाइप और टंकी के प्रश्नों में खाली करने वाले नल का मान क्या लिया जाता है?
खाली करने वाले (Outlet) नल के 1 घंटे के कार्य को सदैव ऋणात्मक (−) चिह्न के साथ लिया जाता है।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
कार्य और समय की अवधारणाओं, LCM विधि और सूत्रों को पढ़ने के बाद अब लाइव ऑनलाइन टेस्ट देकर अपनी गति जांचें:
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LCM विधि की ट्रिक्स, पुरुष-महिला-बच्चे वाले प्रश्नों के हल, पाइप एवं टंकी के संपूर्ण नोट्स की हस्तलिखित PDF मुफ्त डाउनलोड करें।
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