मिश्रण और प्रथक्करण | Mixture and Allegation | Mathwayy
Mixture & Alligation
Cross Method
Replacement Formula
Short Tricks
मिश्रण और पृथक्करण
Mixture & Alligation — मूल अवधारणा, पृथक्करण का नियम, क्रॉस-मेथड, निष्कासन-प्रतिस्थापन सूत्र एवं शार्टकट ट्रिक्स
मिश्रण और पृथक्करण (Mixture & Alligation)
व्यापारिक अंकगणित और औसत का अति-तीव्र समाधान नियम
प्रस्तावना एवं मूल शब्दावली (Basic Concepts)
अंकगणित (Arithmetic) में जब दो या दो से अधिक अलग-अलग मूल्यों, सांद्रताओं या दरों की वस्तुओं/द्रवों को आपस में मिलाया जाता है, तो प्राप्त नए रूप को मिश्रण (Mixture) कहते हैं। वहीं, वह गणितीय शार्टकट नियम जिसके द्वारा यह ज्ञात किया जाता है कि किस अनुपात में दो सामग्रियों को मिलाया जाए कि एक निश्चित औसत मूल्य/सांद्रता प्राप्त हो, उसे पृथक्करण या एलिगेशन (Alligation) कहते हैं।
मूल शब्दावली (Core Terminology)
• सस्ती वस्तु की दर (Cheaper Price - c): कम मूल्य या कम सांद्रता वाली वस्तु का प्रति इकाई मान।
• महंगी वस्तु की दर (Dearer Price - d): अधिक मूल्य या अधिक सांद्रता वाली वस्तु का प्रति इकाई मान।
• औसत/माध्य मूल्य (Mean Price - m): दोनों वस्तुओं को मिलाने पर प्राप्त संपूर्ण मिश्रण का प्रति इकाई मूल्य (यह सदैव c से बड़ा और d से छोटा होता है, अर्थात् c < m < d)।
• महंगी वस्तु की दर (Dearer Price - d): अधिक मूल्य या अधिक सांद्रता वाली वस्तु का प्रति इकाई मान।
• औसत/माध्य मूल्य (Mean Price - m): दोनों वस्तुओं को मिलाने पर प्राप्त संपूर्ण मिश्रण का प्रति इकाई मूल्य (यह सदैव c से बड़ा और d से छोटा होता है, अर्थात् c < m < d)।
पृथक्करण का नियम और क्रॉस विधि (Rule of Alligation)
पृथक्करण का नियम वास्तव में **भारित औसत (Weighted Average)** का ही एक सरल और तेज़ बीजीय रूप है:
पृथक्करण का मूलभूत सूत्र
(सस्ती वस्तु की मात्रा) / (महंगी वस्तु की मात्रा) = (d − m) / (m − c)
जहाँ c = सस्ती दर, d = महंगी दर, तथा m = औसत (माध्य) दर।
मास्टर डायग्राम: क्रॉस-मेथड संरचना (Alligation Diagram)
बायें (Left Side)
सस्ती वस्तु का मूल्य/मान = c
Cheaper Value (c)
दायें (Right Side)
महंगी वस्तु का मूल्य/मान = d
Dearer Value (d)
मध्य में (Center)
मिश्रण का औसत मूल्य = m
Mean Value (m)
निचला अनुपात (Bottom Ratio)
मात्राओं का अनुपात = (d − m) : (m − c)
Ratio of Quantities
एलिगेशन लागू करने की 3 मुख्य शर्तें
• तीनों मान (c, d, m) **समान इकाई (Unit)** और **समान प्रकृति** के होने चाहिए (जैसे: तीनों क्रय मूल्य हों या तीनों प्रतिशत सांद्रता हों)।
• माध्य मान (m) सदैव c और d के **बीच** का मान होना चाहिए (c < m < d)।
• क्रॉस-अंतर निकालते समय हमेशा बड़े में से छोटा मान घटाया जाता है (d − m तथा m − c)।
• माध्य मान (m) सदैव c और d के **बीच** का मान होना चाहिए (c < m < d)।
• क्रॉस-अंतर निकालते समय हमेशा बड़े में से छोटा मान घटाया जाता है (d − m तथा m − c)।
द्रव का बार-बार निष्कासन और प्रतिस्थापन (Repeated Replacement)
प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, UPSI) में बर्तन से बार-बार शुद्ध द्रव (जैसे दूध या शराब) निकालकर उतना ही पानी मिलाने संबंधी प्रश्न बहुत पूछे जाते हैं:
बार-बार प्रतिस्थापन का मास्टर सूत्र
मान लीजिए एक बर्तन में प्रारंभ में 'C' इकाइयाँ शुद्ध द्रव (जैसे दूध) भरा है। उसमें से 'x' इकाइयाँ द्रव निकालकर उतना ही पानी भर दिया जाता है, और यह प्रक्रिया कुल 'n' बार दोहराई जाती है:
अंतिम बर्तन में शेष शुद्ध द्रव की मात्रा = C × [ 1 − (x / C) ]ⁿ
जहाँ: C = प्रारंभिक कुल क्षमता, x = निकाली गई मात्रा, n = प्रक्रिया की कुल संख्या।
शेष द्रव और कुल क्षमता का अनुपात
(शेष शुद्ध द्रव) / (कुल प्रारंभिक क्षमता) = [ 1 − (x / C) ]ⁿ
मिश्रण के विभिन्न प्रकार एवं शॉर्टकट ट्रिक्स (Special Problem Types)
1. प्रतिशत सांद्रता वाले प्रश्न (Concentration)
दूध-पानी या अम्ल-जल के घोल में शुद्ध द्रव का % लेकर सीधे एलिगेशन लगाएँ। पानी मिलाने पर पानी में उस द्रव का % **0%** लिया जाता है।
Pure Item = 100%, Water = 0%
2. दो अनुपातों को मिलाना (Mixing Ratios)
दो बर्तनों A और B के अनुपातों को किसी तीसरे बर्तन में मिलाने पर, किसी **एक घटक (Component)** का हिस्सा लेकर एलिगेशन लगाएँ।
Fractional Alligation
3. लाभ और हानि पर एलिगेशन (Profit & Loss)
दो वस्तुओं के लाभ % को मिलाने पर जो निचला अनुपात प्राप्त होता है, वह उनकी **क्रय मूल्य (CP)** का अनुपात होता है।
Bottom Ratio = Cost Price Ratio
4. चाल और समय पर एलिगेशन (Speed & Time)
जब दो चालों (S₁ और S₂) पर औसत चाल का एलिगेशन लगाया जाता है, तो निचला अनुपात **समय (Time)** का अनुपात होता है।
Bottom Ratio = Time Ratio
विभिन्न प्रकार के हल किए गए उदाहरण (Step-by-Step Solved Examples)
उदा. 1
₹15 प्रति किग्रा तथा ₹20 प्रति किग्रा वाले चावलों को किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹18 प्रति किग्रा हो जाए?
• एलिगेशन क्रॉस-नियम से:
• c = 15, d = 20, m = 18
• अनुपात = (d − m) : (m − c) = (20 − 18) : (18 − 15) = 2 : 3
• उत्तर = चावलों को 2 : 3 के अनुपात में मिलाना होगा।
• c = 15, d = 20, m = 18
• अनुपात = (d − m) : (m − c) = (20 − 18) : (18 − 15) = 2 : 3
• उत्तर = चावलों को 2 : 3 के अनुपात में मिलाना होगा।
उदा. 2
एक 40 लीटर के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3 : 1 है। मिश्रण में कितना पानी और मिलाया जाए कि अनुपात 2 : 1 हो जाए?
• प्रारंभिक मिश्रण (40 L) में:
दूध = 40 × (3/4) = 30 लीटर | पानी = 10 लीटर
• नया अनुपात 2 : 1 में दूध अपरिवर्तित रहेगा (30 L):
यदि 2 भाग = 30 L ➔ 1 भाग (पानी) = 15 लीटर
• मिलाया गया पानी = 15 − 10 = 5 लीटर।
दूध = 40 × (3/4) = 30 लीटर | पानी = 10 लीटर
• नया अनुपात 2 : 1 में दूध अपरिवर्तित रहेगा (30 L):
यदि 2 भाग = 30 L ➔ 1 भाग (पानी) = 15 लीटर
• मिलाया गया पानी = 15 − 10 = 5 लीटर।
उदा. 3
एक बर्तन 80 लीटर शुद्ध दूध से भरा है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी मिला दिया जाता है। यह प्रक्रिया 2 बार और दोहराई जाती है। बर्तन में अब कितना दूध शेष है?
• C = 80 L, x = 8 L, n = 1 + 2 = 3 बार
• सूत्र: शेष दूध = C × [ 1 − (x / C) ]ⁿ
• शेष दूध = 80 × [ 1 − (8 / 80) ]³ = 80 × (9 / 10)³
• शेष दूध = 80 × (729 / 1000) = 58320 / 1000 = 58.32 लीटर।
• सूत्र: शेष दूध = C × [ 1 − (x / C) ]ⁿ
• शेष दूध = 80 × [ 1 − (8 / 80) ]³ = 80 × (9 / 10)³
• शेष दूध = 80 × (729 / 1000) = 58320 / 1000 = 58.32 लीटर।
तुलनात्मक सारणी: साधारण मिश्रण विधि vs एलिगेशन क्रॉस विधि
दोनों गणितीय दृष्टिकोणों की तुलना:
| विशेषता | साधारण बीजगणितीय विधि (Basic Algebra) | पृथक्करण क्रॉस विधि (Alligation Method) |
|---|---|---|
| गणना की गति | समीकरण बनाने के कारण अधिक समय लेती है। | मात्राओं का अनुपात **3 से 5 सेकंड** में निकलता है। |
| समीकरण निर्माण | x मानकर लंबा समीकरण (Ax + By = M) बनता है। | क्रॉस-घटाव [(d-m) तथा (m-c)] द्वारा सीधे हल। |
| उपयोगिता क्षेत्र | जटिल बहु-घटकीय प्रश्नों के लिए। | औसत, लाभ-हानि, ब्याज, चाल आदि सभी में सीधे लागू। |
| त्रुटि की संभावना | गणना लंबी होने से अधिक। | अत्यंत कम और सीधा दृश्य निरूपण। |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
क्या एलिगेशन का नियम केवल द्रवों (Liquids) पर ही लागू होता है?
नहीं! एलिगेशन का नियम **औसत, लाभ-हानि, साधारण ब्याज, जनसंख्या वृद्धि, चाल-दूरी तथा मूल्य**—सभी प्रकार की दरों और अनुपातों पर समान रूप से लागू होता है।
Q2
एलिगेशन लगाते समय यदि पानी मिलाया जाए, तो उसका क्रय मूल्य क्या लिया जाता है?
व्यापारिक गणित के प्रश्नों में जब तक प्रश्न में उल्लेख न हो, **पानी का क्रय मूल्य सदैव ₹0 प्रति लीटर (मुफ्त)** माना जाता है।
Q3
लाभ % और हानि % पर एलिगेशन लगाने पर नीचे किसका अनुपात प्राप्त होता है?
लाभ % या हानि % पर एलिगेशन लगाने से नीचे प्राप्त होने वाला अनुपात सदैव वस्तुओं के क्रय मूल्य (Cost Price - CP) का अनुपात होता है।
Q4
बार-बार द्रव प्रतिस्थापन का सूत्र क्या है?
सूत्र: शेष शुद्ध द्रव = C × [ 1 − (x / C) ]ⁿ होता है (जहाँ C = कुल क्षमता, x = निकाली गई मात्रा, n = बार की संख्या)।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
मिश्रण और पृथक्करण के नियमों, क्रॉस विधि और सूत्रों को पढ़ने के बाद अब ऑनलाइन टेस्ट देकर अपनी गति जांचें:
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क्रॉस-मेथड ट्रिक्स, दूध और पानी के जटिल प्रश्नों के हल, बार-बार द्रव प्रतिस्थापन के 100+ हल उदाहरणों की हस्तलिखित PDF मुफ्त डाउनलोड करें।
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