त्रिभुजों की सर्वांगसमता | Congruence of Triangles | Mathwayy
ΔABC ≅ ΔDEF
SSS · SAS · ASA · AAS · RHS
संगत भुजाएँ · कोण बराबर
Congruence
त्रिभुजों की सर्वांगसमता
Congruence of Triangles — 5 नियम, गुणधर्म, प्रमेय और अनुप्रयोग
त्रिभुजों की सर्वांगसमता की दुनिया में आपका स्वागत है
ज्यामिति की मौलिक अवधारणा — आकृति और आकार में पूर्ण समानता
सर्वांगसमता का परिचय
दो त्रिभुज सर्वांगसम (Congruent) कहलाते हैं यदि उनके संगत कोण और संगत भुजाएँ बराबर हों। सर्वांगसमता को ≅ से दर्शाते हैं।
महत्वपूर्ण बिंदु
ΔABC ≅ ΔDEF का अर्थ है:
AB = DE, BC = EF, CA = FD (संगत भुजाएँ)
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F (संगत कोण)
सर्वांगसमता के 5 नियम: SSS · SAS · ASA · AAS · RHS
AB = DE, BC = EF, CA = FD (संगत भुजाएँ)
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F (संगत कोण)
सर्वांगसमता के 5 नियम: SSS · SAS · ASA · AAS · RHS
📐 सर्वांगसम त्रिभुज — ΔABC ≅ ΔDEF
सर्वांगसमता के 5 नियम
SSS
भुजा-भुजा-भुजा (Side-Side-Side)
तीनों भुजाएँ बराबर हों। कोण स्वतः बराबर हो जाते हैं।
AB=DE, BC=EF, CA=FD → ΔABC≅ΔDEF
SAS
भुजा-कोण-भुजा (Side-Angle-Side)
दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर हो।
AB=DE, ∠A=∠D, AC=DF → ΔABC≅ΔDEF
ASA
कोण-भुजा-कोण (Angle-Side-Angle)
दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर हो।
∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E → ΔABC≅ΔDEF
AAS
कोण-कोण-भुजा (Angle-Angle-Side)
दो कोण और संगत भुजा बराबर हो।
∠A=∠D, ∠B=∠E, BC=EF → ΔABC≅ΔDEF
RHS
समकोण-कर्ण-भुजा (Right-Hypotenuse-Side)
समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक भुजा बराबर हो।
∠B=∠E=90°, AC=DF, BC=EF → ΔABC≅ΔDEF
AAA नियम — सर्वांगसमता के लिए मान्य नहीं!
यदि तीनों कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप (Similar) हो सकते हैं, पर सर्वांगसम नहीं। सर्वांगसमता के लिए कम से कम एक भुजा का बराबर होना अनिवार्य है।
सर्वांगसमता के गुणधर्म
| गुणधर्म | विवरण | उदाहरण |
|---|---|---|
| स्वतुल्यता | प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के सर्वांगसम | ΔABC ≅ ΔABC |
| सममितता | ΔABC ≅ ΔDEF → ΔDEF ≅ ΔABC | दोनों ओर से सत्य |
| संक्रामकता | ΔABC≅ΔDEF और ΔDEF≅ΔGHI → ΔABC≅ΔGHI | श्रृंखला में स्थानांतरण |
| संगत भुजाएँ | सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर | AB=DE, BC=EF, CA=FD |
| संगत कोण | सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण बराबर | ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F |
| क्षेत्रफल | सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर | क्षेत्र(ΔABC) = क्षेत्र(ΔDEF) |
मध्यबिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem)
किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाली रेखा:
• तीसरी भुजा के समानांतर होती है
• तीसरी भुजा की आधी लंबाई की होती है
ΔABC में D,E मध्यबिंदु (AB,AC के) → DE ∥ BC और DE = ½BC
• तीसरी भुजा के समानांतर होती है
• तीसरी भुजा की आधी लंबाई की होती है
ΔABC में D,E मध्यबिंदु (AB,AC के) → DE ∥ BC और DE = ½BC
सर्वांगसमता vs समरूपता
सर्वांगसमता (≅)
आकृति और आकार दोनों समान। संगत भुजाएँ और कोण बराबर। एक को दूसरे पर रखने पर पूरी तरह मेल।
समरूपता (~)
केवल आकृति समान, आकार भिन्न हो सकता है। संगत कोण बराबर, भुजाएँ समानुपाती।
मुख्य संबंध
सभी सर्वांगसम त्रिभुज समरूप भी होते हैं, पर सभी समरूप सर्वांगसम नहीं। सर्वांगसमता = समरूपता का 1:1 विशेष case।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — SSS नियम
ΔABC: AB=5, BC=6, CA=7 | ΔDEF: DE=5, EF=6, FD=7
तीनों भुजाएँ बराबर → ΔABC ≅ ΔDEF (SSS) ✓
तीनों भुजाएँ बराबर → ΔABC ≅ ΔDEF (SSS) ✓
उदाहरण 2 — SAS नियम
ΔPQR: PQ=8, ∠P=50°, PR=10 | ΔXYZ: XY=8, ∠X=50°, XZ=10
दो भुजाएँ + बीच का कोण → ΔPQR ≅ ΔXYZ (SAS) ✓
दो भुजाएँ + बीच का कोण → ΔPQR ≅ ΔXYZ (SAS) ✓
उदाहरण 3 — RHS नियम
ΔABC: ∠B=90°, AB=3, AC=5 (कर्ण) | ΔPQR: ∠Q=90°, PQ=3, PR=5 (कर्ण)
समकोण + कर्ण + भुजा → ΔABC ≅ ΔPQR (RHS) ✓
समकोण + कर्ण + भुजा → ΔABC ≅ ΔPQR (RHS) ✓
उदाहरण 4 — ASA नियम
ΔABC: ∠A=60°, AB=7, ∠B=45° | ΔDEF: ∠D=60°, DE=7, ∠E=45°
दो कोण + बीच की भुजा → ΔABC ≅ ΔDEF (ASA) ✓
दो कोण + बीच की भुजा → ΔABC ≅ ΔDEF (ASA) ✓
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
इमारत और पुल निर्माण
मानचित्रण और सर्वेक्षण
वास्तुकला और डिजाइन
खगोल विज्ञान
कंप्यूटर ग्राफिक्स
दिलचस्प तथ्य
प्राचीन मिस्रवासी पिरामिडों की सममिति सुनिश्चित करने के लिए सर्वांगसम त्रिभुजों का उपयोग करते थे। गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति में कोणों का योग 180° से अधिक हो सकता है!
ज्यामिति सभी सत्यों में सबसे स्पष्ट है — और सर्वांगसमता उसकी सबसे शक्तिशाली अवधारणाओं में से एक।
अभ्यास प्रश्न (उत्तर देखें)
1
ΔABC में AB=5, BC=6, CA=7 और ΔDEF में DE=5, EF=6, FD=7। कौन सा नियम और क्या ये सर्वांगसम हैं?
तीनों भुजाएँ समान हैं।
नियम: SSS
हाँ, ΔABC ≅ ΔDEF
नियम: SSS
हाँ, ΔABC ≅ ΔDEF
2
ΔPQR में PQ=8, ∠P=50°, PR=10 और ΔXYZ में XY=8, ∠X=50°, XZ=10। कौन सा नियम?
दो भुजाएँ + बीच का कोण बराबर।
नियम: SAS
ΔPQR ≅ ΔXYZ
नियम: SAS
ΔPQR ≅ ΔXYZ
3
∠A=60°, AB=7, ∠B=45° और ∠D=60°, DE=7, ∠E=45°। कौन सा नियम?
दो कोण + बीच की भुजा बराबर।
नियम: ASA
ΔABC ≅ ΔDEF
नियम: ASA
ΔABC ≅ ΔDEF
4
∠B=90°, AC=5 (कर्ण), BC=3 और ∠E=90°, DF=5 (कर्ण), EF=3। कौन सा नियम?
समकोण + कर्ण + भुजा बराबर।
नियम: RHS
ΔABC ≅ ΔDEF
नियम: RHS
ΔABC ≅ ΔDEF
5
∠A=∠D, ∠B=∠E, BC=EF। कौन सा नियम?
दो कोण + संगत (बीच वाली नहीं) भुजा।
नियम: AAS
ΔABC ≅ ΔDEF
नियम: AAS
ΔABC ≅ ΔDEF
6
सर्वांगसमता और समरूपता में क्या अंतर है?
सर्वांगसमता: आकृति और आकार दोनों समान (≅)
समरूपता: केवल आकृति समान, आकार भिन्न (~)
सभी सर्वांगसम → समरूप, पर सभी समरूप → सर्वांगसम नहीं
समरूपता: केवल आकृति समान, आकार भिन्न (~)
सभी सर्वांगसम → समरूप, पर सभी समरूप → सर्वांगसम नहीं
7
ΔABC ≅ ΔDEF है। यदि AB = 5 सेमी तो DE = ?
सर्वांगसम त्रिभुजों में संगत भुजाएँ बराबर।
AB और DE संगत भुजाएँ हैं।
DE = 5 सेमी
AB और DE संगत भुजाएँ हैं।
DE = 5 सेमी
8
AAA नियम सर्वांगसमता का नियम क्यों नहीं है?
तीन कोण बराबर होने पर त्रिभुज समरूप होते हैं।
पर वे अलग-अलग आकार के हो सकते हैं।
कम से कम एक भुजा बराबर होना जरूरी है।
पर वे अलग-अलग आकार के हो सकते हैं।
कम से कम एक भुजा बराबर होना जरूरी है।
पोस्ट का सारांश
5 नियम
SSS,SAS,ASA,AAS,RHS
6 गुणधर्म
स्वतुल्यता से क्षेत्रफल
SVG आरेख
ΔABC ≅ ΔDEF दृश्य
8 प्रश्न
हल सहित अभ्यास
अगला अध्ययन करें
इसके बाद त्रिभुजों की समरूपता → पाइथागोरस प्रमेय → वृत्त प्रमेय → निर्देशांक ज्यामिति पढ़ें।