वृत्त | Circle | Mathwayy
C = 2πr | A = πr²
केंद्र · त्रिज्या · व्यास · जीवा
π ≈ 3.14159
Circle
वृत्त (Circle)
Circle — परिभाषा, भाग, सूत्र, प्रमेय और वास्तविक जीवन अनुप्रयोग
वृत्त की दुनिया में आपका स्वागत है
केंद्र, त्रिज्या, व्यास, परिधि और जीवा का दृश्य प्रतिनिधित्व
वृत्त का परिचय
वृत्त एक ऐसी बंद वक्र रेखा है जिसके सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर स्थित होते हैं। वह दूरी त्रिज्या (r) कहलाती है।
परिधि C = 2πr | क्षेत्रफल A = πr² | व्यास d = 2r
π ≈ 3.14159 (वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात — अपरिमेय संख्या)
📐 वृत्त के भागों का दृश्य प्रतिनिधित्व
वृत्त के मुख्य भाग
केंद्र · त्रिज्या · व्यास · परिधि · जीवा · चाप · त्रिज्यखंड · वृत्तखंड · स्पर्शरेखा
वृत्त के भाग — विस्तृत विवरण
केंद्र (Center)
वृत्त का निश्चित बिंदु O जिससे परिधि के सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है।
O = केंद्र बिंदु
त्रिज्या (Radius)
केंद्र O से परिधि तक की दूरी — r। वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान होती हैं।
r = OA = OB
व्यास (Diameter)
केंद्र से गुजरने वाली सबसे लंबी जीवा। d = 2r। वृत्त को 2 समान भागों में बाँटती है।
d = 2r
परिधि (Circumference)
वृत्त के चारों ओर की कुल दूरी — वृत्त का परिमाप।
C = 2πr = πd
जीवा (Chord)
परिधि पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा। व्यास = सबसे बड़ी जीवा।
AB = जीवा
चाप (Arc)
परिधि का कोई भाग। लघु चाप (छोटा) और दीर्घ चाप (बड़ा)।
चाप की लंबाई = (θ/360)×2πr
त्रिज्यखंड (Sector)
दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा पाई के टुकड़े जैसा क्षेत्र।
क्षेत्रफल = (θ/360)×πr²
वृत्तखंड (Segment)
जीवा और उसके संगत चाप से घिरा क्षेत्र।
A = (r²/2)(θ − sinθ)
स्पर्शरेखा (Tangent)
वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूने वाली रेखा। स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या ⊥ स्पर्शरेखा।
OT ⊥ AT
वृत्त के सूत्र — एक नजर में
परिधि
C = 2πr = πd
वृत्त के चारों ओर की कुल दूरी।
क्षेत्रफल
A = πr²
वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्र।
त्रिज्यखंड
A = (θ/360) × πr²
θ = केंद्रीय कोण (डिग्री में)।
वृत्त समीकरण
(x−h)² + (y−k)² = r²
केंद्र (h,k), त्रिज्या r।
| गुणधर्म | सूत्र | विवरण |
|---|---|---|
| परिधि | C = 2πr | वृत्त के चारों ओर की दूरी |
| क्षेत्रफल | A = πr² | वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्र |
| व्यास | d = 2r | त्रिज्या का दोगुना |
| जीवा की लंबाई | l = 2√(r²−d²) | केंद्र से दूरी d पर |
| चाप की लंबाई | l = (θ/360)×2πr | θ डिग्री में |
| त्रिज्यखंड क्षेत्र | A = (θ/360)×πr² | केंद्र पर θ कोण |
वृत्त का कार्तीय समीकरण
केंद्र (h,k) पर: (x−h)² + (y−k)² = r²
मूल बिंदु (0,0) पर: x² + y² = r²
उदाहरण: केंद्र (3,4), r=5 → (x−3)² + (y−4)² = 25
मूल बिंदु (0,0) पर: x² + y² = r²
उदाहरण: केंद्र (3,4), r=5 → (x−3)² + (y−4)² = 25
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — परिधि (r = 7 सेमी)
C = 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 सेमी
उदाहरण 2 — व्यास 14 मीटर से परिधि
r = d/2 = 14/2 = 7 मीटर
C = 2 × 22/7 × 7 = 44 मीटर
C = 2 × 22/7 × 7 = 44 मीटर
उदाहरण 3 — क्षेत्रफल (r = 10 सेमी)
A = πr² = 3.14 × 100 = 314 वर्ग सेमी
उदाहरण 4 — परिधि से क्षेत्रफल (C = 44 सेमी)
C = 2πr → 44 = 2 × 22/7 × r → r = 7 सेमी
A = πr² = 22/7 × 49 = 154 वर्ग सेमी
A = πr² = 22/7 × 49 = 154 वर्ग सेमी
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
पहिये और गियर
खेल मैदान
गोलाकार इमारतें
ग्रहों की कक्षाएँ
लेंस और सर्किट
वृत्त का इतिहास और π के रोचक तथ्य
1650
BC
BC
प्राचीन मिस्र — राइंड पेपिरस
π का मान (16/9)² ≈ 3.1605 दिया गया। वास्तुकला और सर्वेक्षण में वृत्त का व्यापक उपयोग।
300
BC
BC
यूक्लिड — एलिमेंट्स
यूक्लिड ने वृत्त के गुणों और प्रमेयों का व्यवस्थित वर्णन किया।
250
BC
BC
आर्किमिडीज — π की सटीक गणना
आर्किमिडीज ने बहुभुज विधि से π का मान 3.1408 और 3.1429 के बीच ज्ञात किया।
5वीं
शता.
शता.
आर्यभट्ट — भारतीय योगदान
आर्यभट्ट ने π का मान 3.1416 दिया — एक अत्यंत सटीक मान जो उस युग के लिए अद्भुत था।
14वीं
शता.
शता.
माधवाचार्य — अनंत श्रेणी
केरल के गणितज्ञ माधवाचार्य ने π की गणना के लिए अनंत श्रेणी विकसित की — आधुनिक Calculus से पहले!
π के रोचक तथ्य
• π एक अपरिमेय संख्या है — इसे p/q रूप में नहीं लिखा जा सकता
• π अनंत दशमलव है जिसमें कोई दोहराव नहीं
• बाइबल में π का मान 3 माना गया है
• वर्तमान में π को 100 ट्रिलियन दशमलव स्थानों तक ज्ञात किया जा चुका है!
• π अनंत दशमलव है जिसमें कोई दोहराव नहीं
• बाइबल में π का मान 3 माना गया है
• वर्तमान में π को 100 ट्रिलियन दशमलव स्थानों तक ज्ञात किया जा चुका है!
वृत्त की विशिष्टता
• अनंत समरूपता रेखाएँ — केंद्र से गुजरने वाली हर रेखा
• निश्चित परिमाप में सबसे अधिक क्षेत्रफल वाली आकृति
• वृत्त में 360° होते हैं — प्राचीन बेबीलोन की देन
• एक ही वृत्तखंड में बने सभी कोण बराबर होते हैं
• निश्चित परिमाप में सबसे अधिक क्षेत्रफल वाली आकृति
• वृत्त में 360° होते हैं — प्राचीन बेबीलोन की देन
• एक ही वृत्तखंड में बने सभी कोण बराबर होते हैं
वृत्त पूर्णता, अनंतता और सद्भाव का प्रतीक है — यह ब्रह्मांड की सबसे पूर्ण आकृति है।
अभ्यास प्रश्न (उत्तर देखें)
1
7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि? (π = 22/7)
C = 2πr = 2 × 22/7 × 7
= 44 सेमी
= 44 सेमी
2
14 मीटर व्यास वाले मैदान का क्षेत्रफल?
r = 14/2 = 7 मीटर
A = πr² = 22/7 × 49 = 154 वर्ग मी.
A = πr² = 22/7 × 49 = 154 वर्ग मी.
3
परिधि 44 सेमी है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
44 = 2×22/7×r → r = 7 सेमी
A = 22/7 × 49 = 154 वर्ग सेमी
A = 22/7 × 49 = 154 वर्ग सेमी
4
10 सेमी त्रिज्या, 60° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल?
A = (θ/360) × πr²
= (60/360) × 22/7 × 100
= 1/6 × 314.28 = 52.38 वर्ग सेमी
= (60/360) × 22/7 × 100
= 1/6 × 314.28 = 52.38 वर्ग सेमी
5
केंद्र (2,3), r = 4 वाले वृत्त का समीकरण?
(x−h)² + (y−k)² = r²
(x−2)² + (y−3)² = 16
(x−2)² + (y−3)² = 16
6
वृत्त x² + y² = 25 की त्रिज्या और केंद्र?
मानक रूप: x² + y² = r²
केंद्र = (0, 0)
त्रिज्या = √25 = 5
केंद्र = (0, 0)
त्रिज्या = √25 = 5
7
यदि वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है तो परिधि?
πr² = 154 → r² = 154×7/22 = 49 → r = 7
C = 2πr = 2×22/7×7 = 44 सेमी
C = 2πr = 2×22/7×7 = 44 सेमी
8
5 सेमी त्रिज्या, 90° वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई?
l = (θ/360) × 2πr
= (90/360) × 2 × 22/7 × 5
= 1/4 × 31.43 = 7.857 सेमी
= (90/360) × 2 × 22/7 × 5
= 1/4 × 31.43 = 7.857 सेमी
पोस्ट का सारांश
9 भाग
केंद्र से स्पर्शरेखा
6 सूत्र
C, A, d, चाप, खंड
SVG आरेख
सभी भाग दृश्य रूप
8 प्रश्न
हल सहित अभ्यास
अगला अध्ययन करें
इसके बाद वृत्त की प्रमेयें → स्पर्शरेखा → त्रिभुज → निर्देशांक ज्यामिति → त्रिकोणमिति पढ़ें।