बहुभुज | Polygon | in Hindi | Mathwayy
3, 4, 5, 6... भुजाएँ
(n−2)×180°
n(n−3)/2
बाह्य∠ = 360°
बहुभुजों का गणितीय अध्ययन
Polygons — प्रकार, गुणधर्म और अनुप्रयोगों का विस्तृत विवरण
बहुभुज (Polygons)
ज्यामिति की रोचक और महत्वपूर्ण आकृतियाँ
बहुभुज का परिचय
बहुभुज एक सपाट आकृति होती है जो सीधी रेखा खंडों से बंद श्रृंखला द्वारा बनती है। बहुभुज शब्द ग्रीक भाषा के 'पोली' (अनेक) और 'गोनिया' (कोण) से बना है।
बहुभुजों का अध्ययन ज्यामिति की एक महत्वपूर्ण शाखा है। इनके अनुप्रयोग वास्तुकला, कंप्यूटर ग्राफिक्स, भूगोल और अनेक क्षेत्रों में पाए जाते हैं।
महत्वपूर्ण बिंदु
बहुभुज में तीन या अधिक सीधी भुजाएँ होती हैं। इन्हें भुजाओं की संख्या, कोणों के माप और सममिति के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
बहुभुजों के नाम — भुजाओं के आधार पर
त्रिभुज
3 भुजाएँ
चतुर्भुज
4 भुजाएँ
पंचभुज
5 भुजाएँ
षट्भुज
6 भुजाएँ
सप्तभुज
7 भुजाएँ
अष्टभुज
8 भुजाएँ
नवभुज
9 भुजाएँ
दशभुज
10 भुजाएँ
बहुभुजों का वर्गीकरण
आकृति के आधार पर
नियमित बहुभुज: सभी भुजाएँ और कोण बराबर
अनियमित बहुभुज: भुजाएँ और कोण असमान
उत्तल बहुभुज: सभी अंतःकोण 180° से कम
अवतल बहुभुज: कम से कम एक अंतःकोण 180° से अधिक
विशेष चतुर्भुज
वर्ग: चारों भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90°
आयत: आमने-सामने की भुजाएँ बराबर, 90°
समचतुर्भुज: सभी भुजाएँ बराबर, कोण नहीं
समलंब: एक जोड़ी समांतर भुजाएँ
विशेष त्रिभुज
समबाहु: तीनों भुजाएँ और कोण बराबर
समद्विबाहु: दो भुजाएँ बराबर
विषमबाहु: सभी भुजाएँ भिन्न
समकोण त्रिभुज: एक कोण = 90°
बहुभुजों के गुणधर्म — सारणी
| बहुभुज | भुजाएँ (n) | अंतःकोणों का योग | विकर्ण | प्रत्येक अंतःकोण |
|---|---|---|---|---|
| त्रिभुज | 3 | 180° | 0 | 60° |
| चतुर्भुज | 4 | 360° | 2 | 90° |
| पंचभुज | 5 | 540° | 5 | 108° |
| षट्भुज | 6 | 720° | 9 | 120° |
| सप्तभुज | 7 | 900° | 14 | 128.57° |
| अष्टभुज | 8 | 1080° | 20 | 135° |
बहुभुजों के महत्वपूर्ण सूत्र
अंतःकोणों का योग
(n − 2) × 180°
बाह्य कोणों का योग
सदैव = 360°
विकर्णों की संख्या
n(n − 3) / 2
प्रत्येक अंतःकोण (नियमित)
(n−2)×180° / n
प्रत्येक बाह्य कोण (नियमित)
360° / n
अंतःकोण + बाह्य कोण
= 180° (supplementary)
उदाहरण और अनुप्रयोग
उदाहरण 1 — षट्भुज
षट्भुज (n = 6) के अंतःकोणों का योग = (6 − 2) × 180° = 4 × 180° = 720°
नियमित षट्भुज का प्रत्येक अंतःकोण = 720° ÷ 6 = 120°
नियमित षट्भुज का प्रत्येक अंतःकोण = 720° ÷ 6 = 120°
उदाहरण 2 — दशभुज
दशभुज (n = 10) में विकर्णों की संख्या = 10 × (10 − 3) / 2 = 10 × 7 / 2 = 35
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
वास्तुकला व निर्माण
कंप्यूटर ग्राफिक्स
भूगोल व नक्शा
प्रकृति में
सड़क संकेत
प्रकृति में बहुभुज
मधुमक्खियाँ षट्भुज (Hexagon) आकार के छत्ते बनाती हैं क्योंकि यह आकार सबसे कम मोम का उपयोग करते हुए अधिकतम स्थान देता है। क्रिस्टलों की संरचना में भी बहुभुजीय patterns देखे जाते हैं।
बहुभुजों का इतिहास
बहुभुजों का अध्ययन प्राचीन काल से गणितज्ञों को आकर्षित करता रहा है। मिस्र, बेबीलोन और यूनान की सभ्यताओं में इनके गुणधर्मों का अध्ययन होता था।
यूनानी योगदान
यूक्लिड ने "एलिमेंट्स" में बहुभुजों के गुणधर्मों का विस्तार से वर्णन किया। पाइथागोरस ने नियमित बहुभुजों का गहन अध्ययन किया।
प्राचीन
प्राचीन काल
मिस्र और बेबीलोन में बहुभुजों का व्यावहारिक उपयोग — भूमि माप और निर्माण।
6वीं ई.पू.
पाइथागोरस
नियमित बहुभुजों का सैद्धांतिक अध्ययन प्रारंभ।
3वीं ई.पू.
यूक्लिड
"एलिमेंट्स" में बहुभुजों का व्यवस्थित और प्रमाणित अध्ययन।
17वीं
डेकार्ते
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में बहुभुजों का उपयोग।
19वीं
गॉस
नियमित बहुभुजों के निर्माण पर महत्वपूर्ण कार्य।
महत्वपूर्ण तथ्य
त्रिभुज — सबसे सरल बहुभुज
त्रिभुज एकमात्र ऐसा बहुभुज है जो दृढ़ (rigid) होता है — भुजाओं की लंबाई निश्चित होने पर कोण स्वतः निश्चित हो जाते हैं।
नियमित बहुभुज की विशेषता
नियमित बहुभुज सममित होते हैं। इन्हें केंद्र के परितः घुमाने पर ये स्वयं के साथ संपाती हो जाते हैं।
बहुभुज और वृत्त
जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या बढ़ती है, बहुभुज वृत्त के समीप आता जाता है। आर्किमिडीज ने इसी अवधारणा से π का सन्निकटन किया था।
अन्य गुणधर्म
• बाह्य कोणों का योग सदैव 360° होता है।
• उत्तल बहुभुज के सभी विकर्ण अंदर होते हैं।
• अवतल बहुभुज का कम से कम एक विकर्ण बाहर होता है।
• उत्तल बहुभुज के सभी विकर्ण अंदर होते हैं।
• अवतल बहुभुज का कम से कम एक विकर्ण बाहर होता है।
ज्यामिति परमेश्वर का वह विचार है जिसे उसने ब्रह्मांड के निर्माण से पहले साकार किया था।
पोस्ट का सारांश
8 बहुभुज
3 से 10 भुजाओं तक
6 सूत्र
कोण, विकर्ण आदि
5 युग
ऐतिहासिक timeline
2 उदाहरण
हल सहित
अगला अध्ययन करें
इसके बाद त्रिभुज → वृत्त → पाइथागोरस प्रमेय → त्रिकोणमिति का अध्ययन करें।