कार्य, ऊर्जा और शक्ति | Work, Energy and Power
W = F · d · cosθ
K = ½ mv2
Wnet = ΔK
P = dW / dt
कार्य, ऊर्जा और शक्ति
(Work, Energy and Power)
(Work, Energy and Power)
बल के प्रभावों का विस्तार और ब्रह्मांड के अस्तित्व का सबसे मूलभूत नियम
ऊर्जा: ब्रह्मांड की मुद्रा
प्रकृति में कोई भी परिवर्तन बिना 'कार्य' के नहीं होता, और कार्य करने के लिए 'ऊर्जा' का व्यय अनिवार्य है।
प्रस्तावना: भौतिकी में 'कार्य' का अर्थ (Concept of Work)
दैनिक जीवन में, "कार्य" (Work) शब्द का अर्थ बहुत व्यापक है। यदि कोई छात्र घंटों बैठकर परीक्षा की तैयारी कर रहा है, या कोई गार्ड अपनी जगह पर खड़े होकर पूरी रात पहरा दे रहा है, तो हम कहेंगे कि वे बहुत "कड़ी मेहनत" (Work) कर रहे हैं। लेकिन भौतिकी (Physics) की भाषा में, इन दोनों ही स्थितियों में किया गया कार्य 'शून्य' (Zero) है!
भौतिकी में कार्य की परिभाषा
भौतिकी के अनुसार, कार्य केवल तभी संपन्न माना जाता है जब किसी वस्तु पर एक बल (Force, F) लगाया जाए, और उस बल के प्रभाव में वस्तु बल की दिशा में कुछ विस्थापित (Displaced, d) हो जाए। यदि विस्थापन शून्य है, तो चाहे आप कितना भी बल क्यों न लगा लें (जैसे दीवार को धक्का देना), किया गया कार्य शून्य ही होगा।
W = F · d = F d cosθ
यहाँ W कार्य है, F लगाया गया बल है, d विस्थापन है, और θ बल और विस्थापन के बीच का कोण है। यह बल और विस्थापन (जो कि दोनों सदिश राशियाँ हैं) का अदिश गुणनफल (Dot Product) है। अतः कार्य एक अदिश (Scalar) राशि है। इसका SI मात्रक जूल (Joule, J) होता है। (1 J = 1 Newton × 1 meter)।
धनात्मक कार्य (Positive Work)
जब बल और विस्थापन एक ही दिशा में हों (0° ≤ θ < 90°)। इस स्थिति में cosθ धनात्मक होता है।
उदाहरण: घोड़े द्वारा गाड़ी को आगे खींचना, या किसी वस्तु को ऊपर से नीचे की ओर मुक्त रूप से गिराना (गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य)।
उदाहरण: घोड़े द्वारा गाड़ी को आगे खींचना, या किसी वस्तु को ऊपर से नीचे की ओर मुक्त रूप से गिराना (गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य)।
ऋणात्मक कार्य (Negative Work)
जब बल, विस्थापन की विपरीत दिशा में लग रहा हो (90° < θ ≤ 180°)। यहाँ cosθ ऋणात्मक होता है।
उदाहरण: जब हम किसी वस्तु को जमीन पर खिसकाते हैं, तो घर्षण बल (Friction) विस्थापन का विरोध करता है। अतः घर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
उदाहरण: जब हम किसी वस्तु को जमीन पर खिसकाते हैं, तो घर्षण बल (Friction) विस्थापन का विरोध करता है। अतः घर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
शून्य कार्य (Zero Work)
जब बल और विस्थापन एक-दूसरे के लंबवत (Perpendicular, θ = 90°) हों, तो cos 90° = 0 होता है।
उदाहरण: कुली अपने सिर पर भारी सामान रखकर क्षैतिज प्लेटफॉर्म पर चलता है, तो गुरुत्वाकर्षण (नीचे) और विस्थापन (आगे) के बीच 90° का कोण होता है। अतः गुरुत्व द्वारा किया गया कार्य शून्य है!
उदाहरण: कुली अपने सिर पर भारी सामान रखकर क्षैतिज प्लेटफॉर्म पर चलता है, तो गुरुत्वाकर्षण (नीचे) और विस्थापन (आगे) के बीच 90° का कोण होता है। अतः गुरुत्व द्वारा किया गया कार्य शून्य है!
गतिज ऊर्जा और कार्य-ऊर्जा प्रमेय
ऊर्जा (Energy) किसी वस्तु की कार्य करने की क्षमता (Capacity to do work) है। जो वस्तु कार्य करती है, उसकी ऊर्जा घटती है; और जिस पर कार्य किया जाता है, उसकी ऊर्जा बढ़ती है। ऊर्जा के कई रूप हैं, लेकिन यांत्रिकी में हम मुख्य रूप से यांत्रिक ऊर्जा (Mechanical Energy) का अध्ययन करते हैं, जो दो प्रकार की होती है: गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा।
गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy, K)
किसी वस्तु में उसकी गति (Motion) के कारण जो ऊर्जा निहित होती है, उसे गतिज ऊर्जा कहते हैं। तेज बहती हवा (विंडमिल चलाती है), बहता हुआ पानी (टरबाइन घुमाता है), और दागी गई बंदूक की गोली में अपार गतिज ऊर्जा होती है।
K = ½ m v2
चूंकि द्रव्यमान (m) और वेग का वर्ग (v2) हमेशा धनात्मक होते हैं, इसलिए गतिज ऊर्जा कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem)
यह भौतिकी के सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक है। यह कार्य और ऊर्जा के बीच सीधा संबंध स्थापित करता है:
"किसी वस्तु पर लगाए गए सभी बलों (नेट बल) द्वारा किया गया कुल कार्य, उस वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।"
Wnet = Kfinal - Kinitial = ΔK
प्रमाण (Proof): हम जानते हैं v2 - u2 = 2as। दोनों ओर ½m से गुणा करने पर:
½mv2 - ½mu2 = m · a · s
चूंकि बल F = ma और कार्य W = F · s होता है, इसलिए Kf - Ki = W। यह सिद्ध करता है कि गतिज ऊर्जा में वृद्धि या कमी किए गए कार्य पर निर्भर करती है।
"किसी वस्तु पर लगाए गए सभी बलों (नेट बल) द्वारा किया गया कुल कार्य, उस वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।"
Wnet = Kfinal - Kinitial = ΔK
प्रमाण (Proof): हम जानते हैं v2 - u2 = 2as। दोनों ओर ½m से गुणा करने पर:
½mv2 - ½mu2 = m · a · s
चूंकि बल F = ma और कार्य W = F · s होता है, इसलिए Kf - Ki = W। यह सिद्ध करता है कि गतिज ऊर्जा में वृद्धि या कमी किए गए कार्य पर निर्भर करती है।
स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy)
गतिज ऊर्जा तो गति के कारण होती है, लेकिन यदि कोई वस्तु रुकी हुई हो, तो क्या उसमें ऊर्जा हो सकती है? हाँ! किसी वस्तु की विशेष स्थिति (Position) या उसके विन्यास (Configuration/Shape) के कारण उसमें संचित ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy, U) कहते हैं। यह खींचे हुए धनुष, दबी हुई स्प्रिंग या बांध में रोके गए पानी में पाई जाती है।
1. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा
जब किसी वस्तु को पृथ्वी की सतह से कुछ ऊंचाई (h) तक उठाया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कार्य ही वस्तु में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
सूत्र: U = m · g · h
यहाँ 'm' द्रव्यमान है, 'g' गुरुत्वीय त्वरण है और 'h' ऊँचाई है। (यह सूत्र केवल तभी लागू होता है जब h पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत छोटा हो)।
सूत्र: U = m · g · h
यहाँ 'm' द्रव्यमान है, 'g' गुरुत्वीय त्वरण है और 'h' ऊँचाई है। (यह सूत्र केवल तभी लागू होता है जब h पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत छोटा हो)।
2. स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा
जब हम किसी स्प्रिंग को दबाते (Compress) या खींचते (Stretch) हैं, तो स्प्रिंग अपनी मूल स्थिति में लौटने के लिए एक प्रत्यानयन बल (Restoring Force) लगाती है (हुक का नियम: F = -kx)। इस बल के विरुद्ध किया गया कार्य स्प्रिंग में ऊर्जा के रूप में जमा हो जाता है।
सूत्र: U = ½ k x2
जहाँ 'k' स्प्रिंग नियतांक (Spring Constant) है और 'x' स्प्रिंग में उत्पन्न विस्थापन (खिंचाव या दबाव) है।
सूत्र: U = ½ k x2
जहाँ 'k' स्प्रिंग नियतांक (Spring Constant) है और 'x' स्प्रिंग में उत्पन्न विस्थापन (खिंचाव या दबाव) है।
संरक्षी और असंरक्षी बल (Conservative & Non-Conservative Forces)
संरक्षी बल (Conservative Force): वह बल जिसके द्वारा किया गया कार्य केवल वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है, न कि उस पथ (Path) पर जिससे वस्तु को ले जाया गया है। इसके द्वारा एक बंद पथ (Closed loop) में किया गया कुल कार्य शून्य होता है। (जैसे: गुरुत्वाकर्षण बल, स्थिरवैद्युत बल, स्प्रिंग बल)। स्थितिज ऊर्जा की अवधारणा केवल संरक्षी बलों के लिए ही परिभाषित की जाती है।
असंरक्षी बल (Non-Conservative Force): वह बल जिसके द्वारा किया गया कार्य तय किए गए पथ की लंबाई पर निर्भर करता है। बंद लूप में इसके द्वारा किया गया कार्य शून्य नहीं होता। (जैसे: घर्षण बल, श्यान बल)। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य ऊष्मा (Heat) के रूप में नष्ट हो जाता है और वापस नहीं मिलता।
यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण (Conservation of Mechanical Energy)
भौतिकी के महानतम सिद्धांतों में से एक है ऊर्जा संरक्षण का नियम, जिसके अनुसार: "ऊर्जा को न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है, इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।" संपूर्ण ब्रह्मांड की कुल ऊर्जा हमेशा नियत (Constant) रहती है।
यांत्रिकी (Mechanics) के संदर्भ में, गतिज ऊर्जा (K) और स्थितिज ऊर्जा (U) के योग को कुल यांत्रिक ऊर्जा (E) कहते हैं (E = K + U)।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का प्रमेय
"यदि किसी वस्तु या निकाय पर केवल संरक्षी बल (Conservative forces) ही कार्य कर रहे हों (घर्षण जैसे असंरक्षी बल अनुपस्थित हों), तो उस निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा हमेशा नियत (Constant) रहती है।"
ΔK + ΔU = 0 ⇒ Kinitial + Uinitial = Kfinal + Ufinal
ΔK + ΔU = 0 ⇒ Kinitial + Uinitial = Kfinal + Ufinal
उदाहरण: मुक्त रूप से गिरता हुआ पिंड (Free Fall)
कल्पना कीजिए कि 'm' द्रव्यमान की एक गेंद 'H' ऊँचाई से गिराई जाती है।
- उच्चतम बिंदु पर: वेग शून्य है (K = 0), लेकिन ऊँचाई अधिकतम है (U = mgH)। कुल ऊर्जा = mgH।
- बीच में किसी बिंदु पर: वस्तु नीचे आते समय कुछ वेग प्राप्त कर लेती है और उसकी ऊँचाई कम हो जाती है। यहाँ स्थितिज ऊर्जा घटती है, लेकिन गतिज ऊर्जा उसी मात्रा में बढ़ जाती है। कुल ऊर्जा = mgH ही रहती है।
- जमीन से टकराने से ठीक पहले: ऊँचाई शून्य हो जाती है (U = 0), लेकिन वेग अधिकतम हो जाता है (K = ½mv2 = mgH)। कुल ऊर्जा = mgH।
इस प्रकार, हर बिंदु पर गतिज और स्थितिज ऊर्जा आपस में बदलती रहती हैं, लेकिन उनका योग (Sum) हमेशा स्थिर रहता है। यह प्रकृति की सबसे सुंदर सममिति (Symmetry) है।
शक्ति (Power)
मान लीजिए दो मजदूर A और B को 100 ईंटें छत पर पहुँचानी हैं। दोनों ने समान कार्य किया और समान ऊर्जा खर्च की। लेकिन A ने यह काम 1 घंटे में किया और B ने 3 घंटे में। विज्ञान की भाषा में दोनों का कार्य समान है, लेकिन A की शक्ति (Power) अधिक है क्योंकि उसने काम जल्दी किया।
कार्य करने की दर (Rate of doing work) को शक्ति कहते हैं।
औसत शक्ति: Pavg = W / t
तात्क्षणिक शक्ति: P = dW / dt = F · (dx/dt) = F · v
मात्रक (Unit)
शक्ति का SI मात्रक वाट (Watt, W) है (1 Watt = 1 Joule/sec)। जेम्स वाट के सम्मान में इसे रखा गया।
अश्वशक्ति (Horse Power)
मोटर और इंजनों की शक्ति अक्सर HP में मापी जाती है।
1 HP = 746 Watts
1 HP = 746 Watts
व्यावसायिक मात्रक (KWh)
घरों में बिजली का बिल (Unit) किलोवाट-घंटा में आता है। यह शक्ति का नहीं, ऊर्जा का मात्रक है (1 KWh = 3.6 × 106 J)।
संघट्ट (Collisions)
जब दो वस्तुएं आपस में टकराती हैं, या एक वस्तु दूसरी पर मजबूत बल लगाकर उसके पथ को बदल देती है, तो इस घटना को भौतिकी में संघट्ट (Collision) या टक्कर कहते हैं। संघट्ट में बहुत कम समय के लिए बहुत अधिक बल (आवेगी बल) कार्य करता है। किसी भी प्रकार के संघट्ट में, निकाय का कुल रेखीय संवेग (Total Momentum) हमेशा संरक्षित रहता है, क्योंकि टकराव के दौरान लगने वाले बल आंतरिक बल होते हैं।
संघट्ट के प्रकार (Types of Collisions)
1. पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट (Perfectly Elastic Collision)
ऐसा संघट्ट जिसमें संवेग और गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy) दोनों संरक्षित (Conserved) रहते हैं। टक्कर के दौरान ऊर्जा का कोई नुकसान (ऊष्मा या ध्वनि के रूप में) नहीं होता है।
उदाहरण: आदर्श रूप में गैस के अणुओं के बीच की टक्कर, या कांच की कंचियों (Marbles) और बिलियर्ड बॉल्स की टक्कर इसके बहुत करीब होती है।
उदाहरण: आदर्श रूप में गैस के अणुओं के बीच की टक्कर, या कांच की कंचियों (Marbles) और बिलियर्ड बॉल्स की टक्कर इसके बहुत करीब होती है।
2. अप्रत्यास्थ संघट्ट (Inelastic Collision)
ऐसा संघट्ट जिसमें संवेग तो संरक्षित रहता है, लेकिन गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती। गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा ऊष्मा, ध्वनि या वस्तुओं के विरूपण (Deformation) में खर्च हो जाता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ (Perfectly Inelastic): जब टक्कर के बाद दोनों वस्तुएं आपस में चिपक जाती हैं और एक ही वेग से आगे बढ़ती हैं (जैसे कीचड़ का दीवार पर चिपक जाना, या बंदूक की गोली का लकड़ी के ब्लॉक में धंस जाना)। इसमें गतिज ऊर्जा का अधिकतम नुकसान होता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ (Perfectly Inelastic): जब टक्कर के बाद दोनों वस्तुएं आपस में चिपक जाती हैं और एक ही वेग से आगे बढ़ती हैं (जैसे कीचड़ का दीवार पर चिपक जाना, या बंदूक की गोली का लकड़ी के ब्लॉक में धंस जाना)। इसमें गतिज ऊर्जा का अधिकतम नुकसान होता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक (Coefficient of Restitution, e)
यह गुणांक टक्कर की 'प्रत्यास्थता' (Elasticity) को मापता है। यह टक्कर के बाद दूर जाने के सापेक्ष वेग और टक्कर से पहले पास आने के सापेक्ष वेग का अनुपात है।
e = (v2 - v1) / (u1 - u2)
- पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए: e = 1
- पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट के लिए: e = 0 (वस्तुएं चिपक जाती हैं, v1 = v2)
- व्यावहारिक (वास्तविक) संघट्टों के लिए: 0 < e < 1
एक-विमीय और द्वि-विमीय संघट्ट: यदि टक्कर के बाद दोनों वस्तुएं उसी एक सीधी रेखा में चलती रहें जिसमें वे पहले चल रही थीं, तो इसे 'सम्मुख या एक-विमीय संघट्ट (Head-on Collision)' कहते हैं। लेकिन यदि वे किसी कोण पर छिटक जाती हैं (जैसे कैरम बोर्ड की गोटियां), तो इसे 'द्वि-विमीय संघट्ट (Oblique Collision)' कहते हैं, जिसे हल करने के लिए संवेग संरक्षण को X और Y दोनों अक्षों पर अलग-अलग लागू किया जाता है।
"ऊर्जा न तो पैदा होती है और न ही मरती है; यह केवल अपना रूप बदलती है। ब्रह्मांड का यह भव्य नाटक केवल ऊर्जा के एक पात्र से दूसरे पात्र में निरंतर रूपांतरण की एक अनंत कहानी है।"
अध्याय का संपूर्ण सारांश (Chapter Summary)
इस अध्याय में हमने देखा कि यांत्रिकी में कार्य का अर्थ बल और विस्थापन का डॉट गुणनफल (W = F·d·cosθ) है। किया गया कार्य सीधे गतिज ऊर्जा में परिवर्तन (W = ΔK) के रूप में प्रकट होता है। गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग जैसे संरक्षी बलों के क्षेत्र में स्थितिज ऊर्जा (mgh, ½kx2) संचित होती है। इन संरक्षी बलों के अधीन कुल यांत्रिक ऊर्जा (K+U) हमेशा नियत रहती है। कार्य करने की दर को शक्ति (P = F·v) कहते हैं। संघट्ट (टक्कर) के दौरान संवेग हमेशा संरक्षित रहता है, जबकि गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ संघट्ट में संरक्षित रहती है।
कार्य (Work)
W = F · d · cosθ (जूल)
ऊर्जा संरक्षण
K + U = नियतांक (Constant)
शक्ति (Power)
P = W / t (वाट, HP)
संघट्ट (Collisions)
संवेग संरक्षण, प्रत्यास्थ vs अप्रत्यास्थ
अगला कदम (What's Next?)
अब तक के सभी अध्यायों में, हमने वस्तुओं को एक साधारण बिंदु (Point particle) मानकर उनकी गति का अध्ययन किया है। लेकिन वास्तविकता में, बस, कार, पहिया या हमारा शरीर एक बिंदु नहीं है; यह लाखों कणों से बना एक विस्तृत 'निकाय (System)' है। जब ऐसी वस्तुएं घूमती (Rotate) हैं, तो गति के नियम कैसे लागू होते हैं? इस रोचक दुनिया में प्रवेश करने के लिए हम भौतिकी के अगले और सबसे आकर्षक अध्याय "कणों के निकाय तथा घूर्णी गति (System of Particles and Rotational Motion)" का अध्ययन करेंगे।