तरंगें | Waves
y(x,t) = A sin(kx - ωt + φ)
v = f · λ
v = √(γ P / ρ)
f' = f [ (v ± vo) / (v ∓ vs) ]
तरंगें
(Waves)
(Waves)
ऊर्जा के संचरण का संगीतमय विज्ञान: बिना माध्यम के विस्थापन के हलचल का प्रवाह
बिना कणों के यात्रा करती ऊर्जा
जब आप तालाब में पत्थर फेंकते हैं, तो पानी के कण किनारे तक नहीं आते, केवल लहर (ऊर्जा) किनारे तक आती है।
प्रस्तावना: तरंग (Wave) क्या है?
पिछले अध्याय में हमने देखा कि एक अकेला कण अपनी जगह पर कैसे दोलन (Oscillation) करता है। लेकिन क्या होता है जब यह दोलन करने वाला कण एक ऐसे माध्यम (जैसे हवा या पानी) में हो जहाँ वह अपने आस-पास के कणों से जुड़ा हो? जब पहला कण दोलन करता है, तो वह अपनी ऊर्जा बगल वाले कण को दे देता है, फिर वह अगले को, और इस तरह माध्यम में एक विक्षोभ (Disturbance) उत्पन्न होता है जो आगे बढ़ता जाता है। इसी आगे बढ़ते हुए विक्षोभ को तरंग (Wave) कहते हैं।
तरंगों का सबसे बड़ा रहस्य
तरंग गति में, माध्यम के कण (Particles) एक स्थान से दूसरे स्थान तक नहीं जाते; वे केवल अपनी साम्यावस्था के इधर-उधर दोलन करते हैं। एक स्थान से दूसरे स्थान तक केवल और केवल ऊर्जा (Energy) और संवेग (Momentum) का स्थानांतरण होता है। जब आप बात करते हैं, तो आपके मुँह से निकली हवा श्रोता के कान तक नहीं जाती, बल्कि हवा में पैदा हुई लहर (Sound wave) कान तक जाती है।
तरंगों के प्रकार (Types of Waves)
1. यांत्रिक तरंगें (Mechanical Waves)
वे तरंगें जिन्हें एक स्थान से दूसरे स्थान तक जाने के लिए किसी भौतिक माध्यम (Material Medium - ठोस, द्रव या गैस) की आवश्यकता होती है। ये निर्वात (Vacuum) में नहीं चल सकतीं。
उदाहरण: ध्वनि तरंगें, जल तरंगें, स्प्रिंग या डोरी में उत्पन्न तरंगें।
उदाहरण: ध्वनि तरंगें, जल तरंगें, स्प्रिंग या डोरी में उत्पन्न तरंगें।
2. विद्युत-चुंबकीय तरंगें (EM Waves)
वे तरंगें जिन्हें चलने के लिए किसी भी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती। ये निर्वात में भी प्रकाश की चाल (3 × 108 m/s) से चल सकती हैं। ये विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के दोलन से बनती हैं。
उदाहरण: प्रकाश (Light), एक्स-रे (X-rays), रेडियो तरंगें, माइक्रोवेव।
उदाहरण: प्रकाश (Light), एक्स-रे (X-rays), रेडियो तरंगें, माइक्रोवेव।
अनुप्रस्थ (Transverse) और अनुदैर्ध्य (Longitudinal) तरंगें
यांत्रिक तरंगों को माध्यम के कणों के कंपन की दिशा के आधार पर दो भागों में बांटा गया है:
| गुण (Property) | अनुप्रस्थ तरंगें (Transverse Waves) | अनुदैर्ध्य तरंगें (Longitudinal Waves) |
|---|---|---|
| कंपन की दिशा | तरंग के चलने की दिशा के लंबवत (Perpendicular)। | तरंग के चलने की दिशा के समानांतर (Parallel)। |
| निर्माण | ये श्रृंग (Crest - उठा हुआ भाग) और गर्त (Trough - दबा हुआ भाग) के रूप में आगे बढ़ती हैं। | ये संपीडन (Compression - पास-पास) और विरलन (Rarefaction - दूर-दूर) के रूप में आगे बढ़ती हैं। |
| माध्यम | केवल ठोसों और द्रवों की सतह पर उत्पन्न हो सकती हैं (गैसों में नहीं)। | यह ठोस, द्रव और गैस तीनों में उत्पन्न हो सकती हैं। |
| उदाहरण | गिटार के तार की तरंग, तालाब में पत्थर मारने से उठी लहर। | ध्वनि तरंगें (Sound waves), स्प्रिंग को खींचकर छोड़ने पर बनी तरंग। |
प्रगामी तरंग का समीकरण (Equation of a Progressive Wave)
एक ऐसी तरंग जो माध्यम में एक दिशा में लगातार आगे बढ़ती जाती है, प्रगामी तरंग कहलाती है। यदि तरंग धनात्मक X-दिशा में 'v' वेग से जा रही है, तो समय 't' पर किसी कण 'x' का विस्थापन 'y' इस गणितीय समीकरण द्वारा दिया जाता है:
y(x, t) = A sin( kx - ωt + φ )
समीकरण के महत्वपूर्ण पद:
- A (आयाम / Amplitude): माध्यम के कणों का अधिकतम विस्थापन।
- ω (कोणीय आवृत्ति / Angular Frequency): समय के साथ कला (Phase) परिवर्तन की दर। ω = 2πf = 2π/T
- k (कोणीय तरंग संख्या / Angular Wave Number): दूरी के साथ कला परिवर्तन की दर। k = 2π / λ (जहाँ λ तरंगदैर्ध्य है)।
- (kx - ωt + φ): इसे तरंग की कला (Phase) कहते हैं। यदि तरंग ऋणात्मक X-दिशा में जा रही हो, तो समीकरण में (kx + ωt) हो जाता है।
तरंग का वेग (Wave Velocity, v)
एक पूरा कंपन (T समय) होने में तरंग जितनी दूर (λ) जाती है, उसे तरंग का वेग कहते हैं।
v = λ / T ⇒ v = f · λ
समीकरण के पदों में तरंग का वेग v = ω / k होता है। यह कण के वेग से बिल्कुल अलग है (कण का वेग लगातार बदलता है, जबकि माध्यम में तरंग का वेग नियत रहता है)।
माध्यम में तरंग की चाल (Speed of Waves in a Medium)
किसी माध्यम में यांत्रिक तरंग की चाल केवल माध्यम के दो गुणों पर निर्भर करती है: प्रत्यास्थता (Elasticity) और जड़त्व (Inertia / Density)।
तनी हुई डोरी में (String)
अनुप्रस्थ तरंग की चाल डोरी के तनाव (T) और एकांक लंबाई के द्रव्यमान (μ) पर निर्भर करती है。
v = √(T / μ)
v = √(T / μ)
ठोस छड़ में (Solid Rod)
अनुदैर्ध्य तरंग की चाल यंग प्रत्यास्थता गुणांक (Y) और घनत्व (ρ) पर निर्भर करती है。
v = √(Y / ρ)
v = √(Y / ρ)
तरलों में (गैस/द्रव)
तरलों में चाल आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (B) पर निर्भर करती है。
v = √(B / ρ)
v = √(B / ρ)
गैसों में ध्वनि की चाल: न्यूटन का सूत्र और लाप्लास संशोधन
न्यूटन की गलती: न्यूटन ने माना कि जब ध्वनि (संपीडन-विरलन) हवा में चलती है, तो तापमान नहीं बदलता (समतापी प्रक्रम / Isothermal)। इसके आधार पर हवा में ध्वनि की चाल 280 m/s आई, जो प्रायोगिक मान (332 m/s) से बहुत कम थी।
लाप्लास का संशोधन (Laplace Correction): 100 साल बाद लाप्लास ने बताया कि संपीडन और विरलन इतनी तेजी से होते हैं कि ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं हो पाता। अतः यह एक रुद्धोष्म (Adiabatic) प्रक्रम है, समतापी नहीं।
लाप्लास का सही सूत्र: v = √( γ P / ρ )
जहाँ γ = Cp / Cv (हवा के लिए 1.4) है। इसे रखने पर ध्वनि की सही चाल लगभग 331.3 m/s प्राप्त होती है! (नोट: तापमान बढ़ने पर ध्वनि की चाल बढ़ जाती है। v ∝ √T)
लाप्लास का संशोधन (Laplace Correction): 100 साल बाद लाप्लास ने बताया कि संपीडन और विरलन इतनी तेजी से होते हैं कि ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं हो पाता। अतः यह एक रुद्धोष्म (Adiabatic) प्रक्रम है, समतापी नहीं।
लाप्लास का सही सूत्र: v = √( γ P / ρ )
जहाँ γ = Cp / Cv (हवा के लिए 1.4) है। इसे रखने पर ध्वनि की सही चाल लगभग 331.3 m/s प्राप्त होती है! (नोट: तापमान बढ़ने पर ध्वनि की चाल बढ़ जाती है। v ∝ √T)
अध्यारोपण का सिद्धांत (Principle of Superposition)
जब दो गेंदें आपस में टकराती हैं, तो वे एक-दूसरे से छिटक जाती हैं। लेकिन जब दो तरंगें एक-दूसरे से टकराती हैं, तो वे एक-दूसरे के पार (Cross) निकल जाती हैं, मानो दूसरी तरंग वहां हो ही नहीं! लेकिन जिस समय वे एक-दूसरे से गुजर रही होती हैं, उस समय माध्यम के कणों का कुल विस्थापन दोनों तरंगों के अलग-अलग विस्थापनों के सदिश योग (Vector Sum) के बराबर होता है। इसे तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत कहते हैं: y = y1 + y2।
व्यतिकरण (Interference)
जब समान आवृत्ति (Frequency) और लगभग समान आयाम की दो तरंगें एक ही दिशा में एक साथ चलती हैं, तो उनके अध्यारोपण से माध्यम के कुछ बिंदुओं पर ऊर्जा बहुत अधिक हो जाती है और कुछ बिंदुओं पर बहुत कम।
संपोषी व्यतिकरण (Constructive)
जब एक तरंग का 'श्रृंग' (Crest) दूसरी तरंग के 'श्रृंग' से मिलता है (दोनों समान कला / In phase में हों), तो कुल आयाम जुड़कर अधिकतम (A = A1 + A2) हो जाता है। (ध्वनि तेज़ सुनाई देती है)।
विनाशी व्यतिकरण (Destructive)
जब एक का 'श्रृंग' दूसरी के 'गर्त' (Trough) से मिलता है (विपरीत कला / Out of phase में हों), तो वे एक-दूसरे के प्रभाव को नष्ट कर देती हैं और कुल आयाम न्यूनतम (A = |A1 - A2|) हो जाता है। (ध्वनि शांत हो जाती है)।
अप्रगामी तरंगें (Standing or Stationary Waves)
जब समान आयाम और समान आवृत्ति की दो प्रगामी तरंगें एक ही माध्यम में एक ही रेखा पर विपरीत दिशाओं में (Opposite directions) चलती हैं, तो उनके अध्यारोपण से एक नई तरंग बनती है जो माध्यम में आगे नहीं बढ़ती हुई प्रतीत होती, बल्कि अपनी जगह पर ही सिकुड़ती और फैलती दिखती है। इसे अप्रगामी तरंग (Standing Wave) कहते हैं। गिटार, सितार, और बांसुरी (Flute) में संगीत इन्हीं तरंगों के कारण उत्पन्न होता है।
निस्पंद (Nodes) और प्रस्पंद (Antinodes)
निस्पंद (Nodes, N): माध्यम के वे बिंदु जहाँ कणों का विस्थापन हमेशा शून्य (Zero) रहता है। (यहाँ विनाशी व्यतिकरण होता है)। दो लगातार निस्पंदों के बीच की दूरी λ/2 होती है।
प्रस्पंद (Antinodes, A): माध्यम के वे बिंदु जहाँ कणों का विस्थापन अधिकतम (Maximum) होता है। (यहाँ संपोषी व्यतिकरण होता है)। एक निस्पंद और उसके तुरंत बाद आने वाले प्रस्पंद के बीच की दूरी λ/4 होती है।
कंपन की विधाएं (Modes of Vibration / Harmonics)
किसी डोरी या पाइप में केवल कुछ निश्चित आवृत्तियों (Frequencies) की ही अप्रगामी तरंगें बन सकती हैं। सबसे कम आवृत्ति वाली तरंग को मूल आवृत्ति (Fundamental Frequency) या प्रथम सन्नादी (1st Harmonic) कहते हैं। बाकी सभी आवृत्तियां इसी मूल आवृत्ति की पूर्ण गुणज (Integral multiples) होती हैं, जिन्हें सन्नादी (Harmonics) या अधिस्वरक (Overtones) कहा जाता है।
(नोट: दोनों सिरों पर बंधी डोरी और दोनों सिरों पर खुले पाइप (Open Organ Pipe) में सम और विषम दोनों (1, 2, 3, 4...) सन्नादी उत्पन्न होते हैं, इसलिए उनकी आवाज़ अधिक मधुर होती है। जबकि एक सिरे पर बंद पाइप (Closed Organ Pipe) में केवल विषम (1, 3, 5...) सन्नादी ही उत्पन्न होते हैं)।
विस्पंद (Beats)
अध्यारोपण का एक और शानदार रूप 'विस्पंद' है। जब लगभग समान आवृत्ति (Slightly different frequencies) वाली दो ध्वनि तरंगें एक साथ बजाई जाती हैं (जैसे दो गिटार के तार जो थोड़े से बेसुरे हों), तो हमें ध्वनि की तीव्रता में एक लयबद्ध उतार-चढ़ाव (Waxing and Waning) सुनाई देता है—ध्वनि बार-बार तेज़ होती है और फिर धीमी हो जाती है। ध्वनि के इसी उतार-चढ़ाव को विस्पंद (Beats) कहते हैं।
विस्पंद आवृत्ति (Beat Frequency) = | f1 - f2 |
एक सेकंड में जितनी बार ध्वनि तेज़ होती है, उसे विस्पंद आवृत्ति कहते हैं। यह दोनों तरंगों की आवृत्तियों के अंतर के ठीक बराबर होती है। उपयोग: संगीतकारों द्वारा वाद्य यंत्रों (Instruments) का सुर मिलाने (Tuning) के लिए विस्पंद का उपयोग किया जाता है। जब यंत्र पूरी तरह सुर में आ जाते हैं, तो f1 = f2 हो जाता है और विस्पंद सुनाई देना बंद (0 Beats) हो जाते हैं।
डॉप्लर प्रभाव (Doppler Effect)
आपने अनुभव किया होगा कि जब कोई सायरन बजाती हुई एंबुलेंस या हॉर्न बजाती हुई ट्रेन हमारी ओर आती है, तो उसकी आवाज़ बहुत तीखी (High Pitch / High Frequency) सुनाई देती है। लेकिन जैसे ही वह हमें पार करके दूर जाने लगती है, उसकी आवाज़ अचानक मोटी या भारी (Low Pitch / Low Frequency) हो जाती है। जबकि ड्राइवर को हॉर्न की आवाज़ हमेशा एक जैसी सुनाई देती है।
परिभाषा और कारण
"ध्वनि स्रोत (Source) और श्रोता (Observer) के बीच आपेक्षिक गति (Relative Motion) के कारण श्रोता को सुनाई देने वाली ध्वनि की आवृत्ति (Frequency) में होने वाले आभासी परिवर्तन को डॉप्लर प्रभाव कहते हैं।"
जब स्रोत श्रोता की ओर आता है, तो तरंगें 'दब' (Compress) जाती हैं जिससे तरंगदैर्ध्य (λ) कम और आवृत्ति (f) बढ़ जाती है। दूर जाने पर तरंगें 'फैल' (Stretch) जाती हैं जिससे आवृत्ति कम हो जाती है।
जब स्रोत श्रोता की ओर आता है, तो तरंगें 'दब' (Compress) जाती हैं जिससे तरंगदैर्ध्य (λ) कम और आवृत्ति (f) बढ़ जाती है। दूर जाने पर तरंगें 'फैल' (Stretch) जाती हैं जिससे आवृत्ति कम हो जाती है।
f' = f × [ (v ± vo) / (v ∓ vs) ]
- f': आभासी आवृत्ति (Apparent frequency), f: वास्तविक आवृत्ति।
- v: ध्वनि की चाल (लगभग 332 m/s)।
- vo: श्रोता (Observer) का वेग। (यदि श्रोता स्रोत की ओर जा रहा है तो अंश में + लें, दूर जा रहा है तो - लें)।
- vs: स्रोत (Source) का वेग। (यदि स्रोत श्रोता की ओर आ रहा है तो हर में - लें ताकि कुल मान बढ़े, दूर जा रहा है तो + लें)।
"ब्रह्मांड की हर जानकारी हम तक तरंगों के माध्यम से ही पहुँचती है। तारों के प्रकाश से लेकर हमारे आपस के संवाद तक, लहरों का यह कंपन ही वह भाषा है जिससे प्रकृति हमसे बात करती है।"
अध्याय का संपूर्ण सारांश (Chapter Summary)
इस अंतिम अध्याय में हमने ऊर्जा संचरण के सबसे प्रभावी तरीके—तरंगों को समझा। हमने देखा कि अनुप्रस्थ तरंगें लंबवत और अनुदैर्ध्य तरंगें समानांतर कंपन करती हैं। प्रगामी तरंग का समीकरण y = A sin(kx - ωt) है। न्यूटन-लाप्लास सूत्र ने गैसों में ध्वनि की चाल को परिभाषित किया। अध्यारोपण के सिद्धांत से हमने व्यतिकरण (संपोषी/विनाशी), वाद्य यंत्रों में बजने वाली अप्रगामी तरंगों (निस्पंद/प्रस्पंद) और विस्पंदों (Beats) के संगीत को समझा। अंत में, डॉप्लर प्रभाव ने हमें एंबुलेंस के सायरन के तीखे और भारी होने का वैज्ञानिक कारण बताया।
तरंग समीकरण
y = A sin(kx - ωt) & v = fλ
अध्यारोपण
व्यतिकरण और विस्पंद (|f1 - f2|)
अप्रगामी तरंगें
निस्पंद (Nodes) व प्रस्पंद (Antinodes)
डॉप्लर प्रभाव
आपेक्षिक गति के कारण आवृत्ति में बदलाव
बधाई हो! (Congratulations!)
NCERT कक्षा 11 भौतिकी (Physics) का संपूर्ण पाठ्यक्रम यहाँ सफलतापूर्वक संपन्न होता है! भाग-1 में यांत्रिकी (Motion, Force, Rotation, Gravitation) से लेकर भाग-2 में पदार्थों के गुण, ऊष्मा और तरंगों तक, हमने ब्रह्मांड के सबसे मूलभूत नियमों का विस्तार से अध्ययन किया। अब आप 12वीं कक्षा की भौतिकी (स्थिरवैद्युतिकी, चुंबकत्व और आधुनिक भौतिकी) के रोमांचक सफर के लिए पूरी तरह से तैयार हैं!