सदिश बीजगणित (Vector Algebra)
a⃗ · b⃗ = |a||b| cosθ
a⃗ × b⃗ = |a||b| sinθ nˆ
मापांक और दिशा
मात्रक सदिश (iˆ, jˆ, kˆ)
प्रक्षेप (Projection)
सदिश बीजगणित (Vector Algebra)
भौतिक जगत की दिशा और परिमाण को गणितीय सांचे में ढालने की अद्भुत विधा। यह वह भाषा है जिसमें हवा का बहाव, नदी की धारा और गुरुत्वाकर्षण का बल एक साथ बात करते हैं।
भौतिक राशियों का गणितीय तीर
शून्य से अंतरिक्ष तक (3D Space) की यात्रा का अचूक मार्गदर्शक
भौतिक जगत का तीर: सदिश और अदिश का परिचय
जब हम कहते हैं कि "गाड़ी 50 किमी/घंटा की गति से चल रही है", तो यह जानकारी अधूरी है यदि हम यह न बताएं कि गाड़ी किस दिशा में जा रही है। विज्ञान और गणित में राशियाँ दो प्रकार की होती हैं: अदिश (Scalar) और सदिश (Vector)।
अदिश राशियाँ वे हैं जिनमें केवल परिमाण (Magnitude) होता है, जैसे- समय, द्रव्यमान, तापमान या दूरी। इसके विपरीत, सदिश राशियाँ वे हैं जिनमें परिमाण के साथ-साथ एक निश्चित दिशा (Direction) भी होती है, और जो सदिश योग के नियमों का पालन करती हैं। बल (Force), वेग (Velocity), और विस्थापन (Displacement) सदिश राशियों के सटीक उदाहरण हैं।
निरूपण (Notation)
गणित में किसी सदिश को दर्शाने के लिए हम अक्षर के ऊपर एक छोटा सा तीर लगाते हैं (जैसे a⃗ या AB⃗)। इसकी लंबाई इसके परिमाण (Magnitude) को दर्शाती है, जिसे |a⃗| से लिखा जाता है। जहाँ से तीर शुरू होता है, उसे 'प्रारंभिक बिंदु' (Initial point) और जहाँ तीर का सिरा (Head) होता है, उसे 'अंतिम बिंदु' (Terminal point) कहते हैं।
अंतरिक्ष में पहचान: स्थिति सदिश और दिक-कोज्याएँ
त्रिविमीय अंतरिक्ष (3D Space) में किसी बिंदु P(x, y, z) की स्थिति को मूल बिंदु O(0, 0, 0) के सापेक्ष दर्शाने वाले सदिश को स्थिति सदिश (Position Vector) कहते हैं। इसे प्रायः r⃗ से दर्शाया जाता है। इसे X, Y, Z अक्षों के अनुदिश मात्रक सदिशों (iˆ, jˆ, kˆ) के रूप में लिखा जाता है:
r⃗ = x iˆ + y jˆ + z kˆ
इसका परिमाण (Magnitude) या मूल बिंदु से दूरी |r⃗| = √(x² + y² + z²) होती है।
दिक-कोज्याएँ (Direction Cosines)
यदि कोई सदिश r⃗ धनात्मक X, Y और Z अक्षों के साथ क्रमशः α, β और γ कोण बनाता है, तो इन कोणों की कोज्याओं (Cosines) को दिक-कोज्या कहते हैं। इन्हें l, m, n से दर्शाते हैं।
l = cosα , m = cosβ , n = cosγ
जादुई सूत्र: l² + m² + n² = 1
(नोट: जो संख्याएँ l, m, n के समानुपाती होती हैं, उन्हें दिक-अनुपात (Direction Ratios - a, b, c) कहा जाता है। सदिश r⃗ = a iˆ + b jˆ + c kˆ में a, b, c ही दिक-अनुपात होते हैं।)
सदिशों का कुनबा: पहचान और प्रमुख प्रकार
प्रकृति में विभिन्न स्थितियों को दर्शाने के लिए सदिशों को कई प्रकारों में बांटा गया है। सवालों को हल करने के लिए इनकी पहचान होना अत्यंत आवश्यक है:
शून्य एवं मात्रक सदिश (Zero & Unit)
शून्य सदिश (0⃗): जिसका प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही हो। इसका परिमाण 0 होता है और दिशा अनिश्चित होती है।
मात्रक सदिश (aˆ): जिसका परिमाण 1 इकाई (Unity) हो। यह दिशा बताने के काम आता है। सूत्र: aˆ = a⃗ / |a⃗|
मात्रक सदिश (aˆ): जिसका परिमाण 1 इकाई (Unity) हो। यह दिशा बताने के काम आता है। सूत्र: aˆ = a⃗ / |a⃗|
संरेख एवं समान सदिश (Collinear & Equal)
संरेख (Collinear): दो या अधिक सदिश जो एक ही रेखा के समांतर हों (चाहे परिमाण/दिशा कुछ भी हो)। शर्त: a⃗ = λb⃗
समान सदिश: जिनके परिमाण और दिशा दोनों बिल्कुल एक समान हों।
समान सदिश: जिनके परिमाण और दिशा दोनों बिल्कुल एक समान हों।
*अन्य प्रकार:* सह-आदिम (Coinitial) - जिनका प्रारंभिक बिंदु एक ही हो। ऋणात्मक सदिश (Negative vector) - परिमाण समान लेकिन दिशा ठीक विपरीत।
सदिशों का योगफल: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज के नियम
सदिशों को सामान्य बीजगणित (5 + 3 = 8) की तरह नहीं जोड़ा जा सकता। यदि आप 5 कदम उत्तर और 3 कदम पूर्व चलते हैं, तो आप शुरुआती बिंदु से 8 कदम दूर नहीं होते। सदिशों को जोड़ने के लिए हम ज्यामिति का सहारा लेते हैं।
1. सदिश योग का त्रिभुज नियम (Triangle Law)
यदि दो सदिशों को किसी त्रिभुज की दो संलग्न भुजाओं द्वारा एक ही क्रम (Head-to-Tail) में दर्शाया जाए, तो उनका योगफल (परिणामी सदिश) त्रिभुज की तीसरी भुजा द्वारा विपरीत क्रम (Tail-to-Head) में दर्शाया जाता है।
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
2. समांतर चतुर्भुज का नियम (Parallelogram Law)
यदि दो सदिशों को एक ही बिंदु से शुरू (Coinitial) माना जाए और उन्हें एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं द्वारा दर्शाया जाए, तो उनका योगफल उस बिंदु से होकर जाने वाले विकर्ण (Diagonal) द्वारा दर्शाया जाता है।
योग के गुणधर्म (Properties of Addition)
सदिश योग क्रमविनिमेय (Commutative) होता है: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗
सदिश योग साहचर्य (Associative) होता है: (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)
घटकों में योग: यदि a⃗ = a1iˆ + a2jˆ + a3kˆ और b⃗ = b1iˆ + b2jˆ + b3kˆ है, तो उनका योग सीधे iˆ, jˆ, kˆ के गुणांकों को जोड़कर (a1+b1)iˆ ... प्राप्त किया जाता है।
सदिश योग साहचर्य (Associative) होता है: (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)
घटकों में योग: यदि a⃗ = a1iˆ + a2jˆ + a3kˆ और b⃗ = b1iˆ + b2jˆ + b3kˆ है, तो उनका योग सीधे iˆ, jˆ, kˆ के गुणांकों को जोड़कर (a1+b1)iˆ ... प्राप्त किया जाता है।
विभाजन सूत्र (Section Formula): दो बिंदुओं के बीच का सेतु
कक्षा 10 की निर्देशांक ज्यामिति की तरह ही, सदिश बीजगणित में भी एक विभाजन सूत्र होता है। यदि दो बिंदुओं P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः a⃗ और b⃗ हों, और कोई तीसरा बिंदु R रेखाखंड PQ को m : n के अनुपात में विभाजित करता है, तो R का स्थिति सदिश r⃗ निम्न प्रकार निकाला जाता है:
अंतः विभाजन (Internal): r⃗ = ( m b⃗ + n a⃗ ) / ( m + n )
बाह्य विभाजन (External): r⃗ = ( m b⃗ - n a⃗ ) / ( m - n )
मध्य बिंदु (Mid-point): यदि R मध्य बिंदु है, तो m = n = 1 होगा। अतः मध्य बिंदु का स्थिति सदिश सीधे (a⃗ + b⃗) / 2 होता है।
अदिश गुणनफल (Dot Product): परछाई और प्रक्षेप का गणित
सदिशों का गुणा सामान्य संख्याओं के गुणा जैसा नहीं होता। इसके दो प्रकार होते हैं। पहला है 'अदिश गुणनफल' (Dot Product), जिसका उत्तर हमेशा एक संख्या (Scalar) आता है, कोई सदिश नहीं। भौतिकी में इसका सबसे बड़ा उपयोग 'किया गया कार्य' (Work Done = F⃗ · d⃗) निकालने में होता है।
परिभाषा: यदि दो सदिशों a⃗ और b⃗ के बीच का कोण θ है, तो उनका अदिश गुणनफल इस प्रकार परिभाषित होता है:
a⃗ · b⃗ = |a⃗| |b⃗| cosθ
महत्वपूर्ण गुणधर्म और निष्कर्ष
• लंबवत की शर्त: यदि a⃗ और b⃗ लंबवत (Perpendicular) हैं, तो θ = 90° होगा और cos90° = 0। अतः a⃗ · b⃗ = 0। यह सबसे ज्यादा काम आने वाली शर्त है!
• स्वयं से गुणा: a⃗ · a⃗ = |a⃗|² (क्योंकि कोण 0° है)।
• मात्रक सदिशों का गुणा: iˆ·iˆ = jˆ·jˆ = kˆ·kˆ = 1। लेकिन iˆ·jˆ = jˆ·kˆ = 0।
• घटकों के रूप में: (a1iˆ + a2jˆ + a3kˆ) · (b1iˆ + b2jˆ + b3kˆ) = a1b1 + a2b2 + a3b3
• स्वयं से गुणा: a⃗ · a⃗ = |a⃗|² (क्योंकि कोण 0° है)।
• मात्रक सदिशों का गुणा: iˆ·iˆ = jˆ·jˆ = kˆ·kˆ = 1। लेकिन iˆ·jˆ = jˆ·kˆ = 0।
• घटकों के रूप में: (a1iˆ + a2jˆ + a3kˆ) · (b1iˆ + b2jˆ + b3kˆ) = a1b1 + a2b2 + a3b3
सदिश का प्रक्षेप (Projection)
प्रक्षेप का अर्थ है परछाई (Shadow)। यदि आप सदिश a⃗ के ऊपर से लंबवत प्रकाश डालें, तो सदिश b⃗ पर उसकी जो परछाई बनेगी, उसे a⃗ का b⃗ पर प्रक्षेप कहते हैं।
सूत्र: सदिश a⃗ का b⃗ पर प्रक्षेप = (a⃗ · b⃗) / |b⃗|
(याद रखने की ट्रिक: जिस 'पर' प्रक्षेप निकालना है, उसका परिमाण (Magnitude) हमेशा नीचे भाग में (Denominator) आएगा।)
सूत्र: सदिश a⃗ का b⃗ पर प्रक्षेप = (a⃗ · b⃗) / |b⃗|
(याद रखने की ट्रिक: जिस 'पर' प्रक्षेप निकालना है, उसका परिमाण (Magnitude) हमेशा नीचे भाग में (Denominator) आएगा।)
सदिश गुणनफल (Cross Product): घूर्णन और क्षेत्रफल का उद्गम
जब हम दो सदिशों का इस प्रकार गुणा करते हैं कि उत्तर में एक नया सदिश प्राप्त हो, तो उसे 'सदिश गुणनफल' (Cross Product) कहते हैं। यह नया सदिश हमेशा उन दोनों पुराने सदिशों के तल (Plane) के लंबवत (Perpendicular) होता है। भौतिकी में बल आघूर्ण (Torque) इसी का रूप है।
a⃗ × b⃗ = |a⃗| |b⃗| sinθ nˆ
(यहाँ nˆ वह मात्रक सदिश है जो a⃗ और b⃗ दोनों पर लंबवत है, जिसकी दिशा 'दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम' (Right-hand thumb rule) से तय होती है।)
Cross Product के रोचक गुण
1. समांतर की शर्त: यदि a⃗ और b⃗ समांतर (Parallel) हैं, तो θ = 0° होगा और sin0° = 0। अतः a⃗ × b⃗ = 0⃗ (शून्य सदिश)।
2. यह क्रमविनिमेय नहीं है! a⃗ × b⃗ = -(b⃗ × a⃗)। (स्थान बदलने पर दिशा उल्टी हो जाती है)।
3. मात्रक सदिशों का चक्र: iˆ×jˆ = kˆ , jˆ×kˆ = iˆ , kˆ×iˆ = jˆ। लेकिन स्वयं से गुणा करने पर iˆ×iˆ = 0⃗ होता है।
4. घटकों में हल करने के लिए हम सारणिक (Determinant) विधि का उपयोग करते हैं, जहाँ पहली पंक्ति iˆ, jˆ, kˆ होती है।
ज्यामितीय अनुप्रयोग (क्षेत्रफल ज्ञात करना)
• यदि किसी समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) की दो संलग्न भुजाएँ a⃗ और b⃗ हैं, तो उसका क्षेत्रफल = |a⃗ × b⃗| होता है।
• यदि किसी त्रिभुज (Triangle) की दो संलग्न भुजाएँ a⃗ और b⃗ हैं, तो उसका क्षेत्रफल = (1/2) |a⃗ × b⃗| होता है।
• यदि किसी त्रिभुज (Triangle) की दो संलग्न भुजाएँ a⃗ और b⃗ हैं, तो उसका क्षेत्रफल = (1/2) |a⃗ × b⃗| होता है।
त्रि-गुणनफल (Scalar Triple Product): आयतन और समतलीयता
जब हम तीन सदिशों का एक साथ गुणा करते हैं, तो इसे अदिश त्रि-गुणनफल (Box Product) कहा जाता है। इसे [a⃗ b⃗ c⃗] से दर्शाया जाता है। गणितीय रूप में यह a⃗ · (b⃗ × c⃗) होता है।
त्रि-गुणनफल के महा-सिद्धांत
• आयतन: [a⃗ b⃗ c⃗] का परिमाण एक समांतर षट्फलक (Parallelepiped) के आयतन को दर्शाता है जिसकी तीन संलग्न भुजाएँ a⃗, b⃗, c⃗ हैं।
• समतलीयता (Coplanarity): यदि तीन सदिश एक ही तल (Plane) में मौजूद हैं (अर्थात् वे समतलीय हैं), तो उनसे कोई 3D डिब्बा नहीं बन सकता, इसलिए उनका आयतन शून्य होगा। अतः, समतलीय होने की शर्त: [a⃗ b⃗ c⃗] = 0।
• समतलीयता (Coplanarity): यदि तीन सदिश एक ही तल (Plane) में मौजूद हैं (अर्थात् वे समतलीय हैं), तो उनसे कोई 3D डिब्बा नहीं बन सकता, इसलिए उनका आयतन शून्य होगा। अतः, समतलीय होने की शर्त: [a⃗ b⃗ c⃗] = 0।
अध्याय का संपूर्ण निष्कर्ष एवं अचूक रणनीतियाँ
सदिश बीजगणित (Vector Algebra) वह पुल है जो बीजगणित (Algebra) को ज्यामिति (Geometry) और भौतिकी (Physics) से जोड़ता है। इस अध्याय में महारत का सीधा अर्थ है 'त्रिविमीय ज्यामिति (3D Geometry)' के अगले अध्याय को अपनी मुट्ठी में कर लेना। डॉट प्रोडक्ट हमें लंबवतता (Perpendicularity) चेक करना सिखाता है, तो क्रॉस प्रोडक्ट हमें समांतरता (Parallelism) और लंबवत दिशा (Normal) खोजना सिखाता है।
l²+m²+n²=1
दिक-कोज्याओं का संबंध
a⃗·b⃗ = 0
लंबवत (Orthogonal) होने की शर्त
a⃗×b⃗ = 0⃗
समांतर (Parallel) होने की शर्त
(a⃗·b⃗)/|b⃗|
a⃗ का b⃗ पर प्रक्षेप
बोर्ड परीक्षा हेतु अचूक मंत्र (Pro Tip)
परीक्षा में "लंबवत मात्रक सदिश (Perpendicular Unit Vector)" निकालने का प्रश्न बहुत बार आता है। इसे निकालने के लिए पहले a⃗ × b⃗ निकालें (क्योंकि क्रॉस प्रोडक्ट हमेशा लंबवत होता है), और फिर उसे उसी के परिमाण |a⃗ × b⃗| से भाग दे दें। सूत्र: nˆ = ± (a⃗ × b⃗) / |a⃗ × b⃗|। साथ ही, 'प्रक्षेप' (Projection) के प्रश्नों में हर साल 'किस पर' प्रक्षेप है, यह पढ़ने में जल्दबाजी न करें; जिस पर प्रक्षेप हो, परिमाण उसी का नीचे आता है!