संबंध एवं फलन | Relations and Functions
(x, y)
A × B
R ⊆ A × B
f(x)
संबंध एवं फलन (Relations and Functions)
NCERT कक्षा 11 गणित अध्याय 2 — सम्पूर्ण अवधारणाएँ, प्रकार और बीजगणित
संबंध और फलन
गणित में दो वस्तुओं या मात्राओं के बीच जुड़ाव का अध्ययन
प्रस्तावना (Introduction)
अध्याय 1 में हमने समुच्चय (Sets) के बारे में विस्तार से अध्ययन किया। अब हम यह सीखेंगे कि दो समुच्चयों के अवयवों को जोड़कर युग्म (pairs) कैसे बनाए जाते हैं और उन युग्मों के बीच क्या संबंध हो सकते हैं। हमारे दैनिक जीवन में भी हम कई संबंध देखते हैं, जैसे: 'का भाई है', 'की बहन है', 'से बड़ा है', 'के बराबर है' आदि। गणित में भी संख्याओं या समुच्चयों के बीच ऐसे ही संबंधों का व्यवस्थित अध्ययन "संबंध एवं फलन" (Relations and Functions) के अंतर्गत किया जाता है।
इस अध्याय का उद्देश्य
इस अध्याय में हम मुख्य रूप से कार्तीय गुणन (Cartesian Product), संबंध (Relations), उनके प्रांत (Domain) व परिसर (Range), और विशेष प्रकार के संबंधों यानी फलनों (Functions) के बारे में गहराई से जानेंगे।
समुच्चयों का कार्तीय गुणन (Cartesian Product of Sets)
संबंधों को समझने से पहले हमें यह जानना होगा कि दो समुच्चयों का कार्तीय गुणन क्या होता है। इसे समझने के लिए क्रमित युग्म (Ordered Pair) को समझना आवश्यक है।
क्रमित युग्म (Ordered Pair): जब दो अवयवों को एक विशिष्ट क्रम में छोटे कोष्ठक के अंदर (x, y) के रूप में लिखा जाता है, तो उसे क्रमित युग्म कहते हैं। यहाँ 'x' पहला अवयव है और 'y' दूसरा अवयव है। ध्यान रहे, (x, y) ≠ (y, x) जब तक कि x = y न हो।
कार्तीय गुणन की परिभाषा
दो अरिक्त समुच्चयों P और Q का कार्तीय गुणन P × Q उन सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, जिनका प्रथम घटक P से और द्वितीय घटक Q से लिया गया हो।
P × Q = { (p, q) : p ∈ P और q ∈ Q }
P × Q = { (p, q) : p ∈ P और q ∈ Q }
उदाहरण
यदि A = {1, 2} और B = {a, b} हो, तो
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
महत्वपूर्ण तथ्य (Key Properties)
1. दो क्रमित युग्म तभी समान होते हैं जब उनके संगत प्रथम और द्वितीय घटक समान हों। अर्थात (a, b) = (x, y) ⇒ a = x और b = y
2. यदि समुच्चय A में 'p' अवयव हों और B में 'q' अवयव हों, तो A × B में p × q अवयव होंगे। यानी n(A × B) = n(A) × n(B)
3. यदि A या B में से कोई भी एक अपरिमित समुच्चय है, तो A × B भी अपरिमित होगा।
4. A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A}, इसे क्रमित त्रिक (Ordered triplet) कहते हैं।
2. यदि समुच्चय A में 'p' अवयव हों और B में 'q' अवयव हों, तो A × B में p × q अवयव होंगे। यानी n(A × B) = n(A) × n(B)
3. यदि A या B में से कोई भी एक अपरिमित समुच्चय है, तो A × B भी अपरिमित होगा।
4. A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A}, इसे क्रमित त्रिक (Ordered triplet) कहते हैं।
संबंध (Relations)
अब हम 'संबंध' की गणितीय परिभाषा पर आते हैं। किसी अरिक्त समुच्चय A से अरिक्त समुच्चय B में कोई संबंध R, उनके कार्तीय गुणन A × B का एक उपसमुच्चय (Subset) होता है। यह उपसमुच्चय A × B के क्रमित युग्मों के प्रथम तथा द्वितीय घटकों के बीच एक विशेष 'शर्त' या 'संबंध' स्थापित करने से प्राप्त होता है।
प्रतिबिंब (Image)
संबंध R में क्रमित युग्म (x, y) के द्वितीय घटक 'y' को प्रथम घटक 'x' का प्रतिबिंब कहते हैं।
तीर आरेख (Arrow Diagram)
संबंध को दर्शाने की एक दृष्टिगत विधि है। इसमें समुच्चय A से B की ओर तीर लगाकर संबंध दिखाया जाता है।
1. प्रांत (Domain)
समुच्चय A से समुच्चय B में संबंध R के क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों के समुच्चय को संबंध R का प्रांत (Domain) कहते हैं।
2. परिसर (Range)
संबंध R के क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों (प्रतिबिंबों) के समुच्चय को संबंध R का परिसर (Range) कहते हैं।
3. सहप्रांत (Codomain)
संपूर्ण समुच्चय B को संबंध R का सहप्रांत (Codomain) कहते हैं। नोट: परिसर ⊆ सहप्रांत
कुल संबंधों की संख्या
समुच्चय A से समुच्चय B में कुल संबंधों की संख्या A × B के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर होती है। यदि n(A) = p और n(B) = q है, तो n(A × B) = pq होगा। अतः कुल संबंधों की संख्या 2pq होगी।
फलन (Functions)
गणित में फलन (Function) सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। वास्तव में, 'फलन' एक विशेष प्रकार का 'संबंध' ही होता है।
फलन की सटीक परिभाषा
समुच्चय A से समुच्चय B में कोई संबंध 'f' एक फलन कहलाता है, यदि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में एक और केवल एक (Unique) प्रतिबिंब हो।
इसे दूसरे शब्दों में ऐसे समझें:
1. समुच्चय A का कोई भी अवयव खाली नहीं छूटना चाहिए (सबका प्रतिबिंब होना चाहिए)।
2. समुच्चय A के किसी एक अवयव के समुच्चय B में दो या दो से अधिक प्रतिबिंब नहीं होने चाहिए (अर्थात एक इनपुट से दो अलग आउटपुट नहीं मिल सकते)।
1. समुच्चय A का कोई भी अवयव खाली नहीं छूटना चाहिए (सबका प्रतिबिंब होना चाहिए)।
2. समुच्चय A के किसी एक अवयव के समुच्चय B में दो या दो से अधिक प्रतिबिंब नहीं होने चाहिए (अर्थात एक इनपुट से दो अलग आउटपुट नहीं मिल सकते)।
संबंध बनाम फलन
"सभी फलन संबंध होते हैं, लेकिन सभी संबंध फलन नहीं होते।"
यदि f(x) = y है, तो 'y' को 'x' का प्रतिबिंब (Image) कहते हैं, और 'x' को 'y' का पूर्व-प्रतिबिंब (Pre-image) कहते हैं। फलन को f: A → B द्वारा दर्शाया जाता है।
वास्तविक मान फलन (Real Valued Function)
वह फलन जिसका परिसर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R या उसका कोई उपसमुच्चय हो, "वास्तविक मान फलन" कहलाता है। यदि इसका प्रांत (Domain) भी R या उसका उपसमुच्चय हो, तो इसे "वास्तविक फलन" कहते हैं।
कुछ विशिष्ट फलन और उनके आलेख (Some Functions and their Graphs)
कक्षा 11 के पाठ्यक्रम में कुछ विशेष मानक फलनों (Standard Functions) और उनके ग्राफ (आलेख) का ज्ञान होना अत्यंत आवश्यक है। कलन (Calculus) में इनका बहुत उपयोग होता है।
1. तत्समक फलन (Identity Function)
वह फलन जहाँ प्रत्येक इनपुट का आउटपुट वह स्वयं ही होता है। f(x) = x
प्रांत: R | परिसर: R
आलेख: मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा (y = x)।
2. अचर फलन (Constant Function)
इस फलन में आप कोई भी 'x' डालें, उत्तर हमेशा एक निश्चित संख्या 'c' ही आती है। f(x) = c
प्रांत: R | परिसर: {c}
आलेख: x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा।
3. बहुपद फलन (Polynomial Function)
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn के रूप का फलन।
प्रांत: R
उदा: f(x) = x2 (परवलय / Parabola)।
4. परिमेय फलन (Rational Function)
p(x)/q(x) के रूप के फलन, जहाँ p(x) और q(x) बहुपद हैं और q(x) ≠ 0।
उदा: f(x) = 1/x
आलेख: अतिपरवलय (Hyperbola) प्रकार का वक्र।
5. मापांक फलन (Modulus Function)
यह फलन ऋणात्मक मानों को भी धनात्मक बना देता है। f(x) = |x|
प्रांत: R | परिसर: [0, ∞)
आलेख: V-आकार का ग्राफ जो मूल बिंदु पर मुड़ता है।
6. चिह्न फलन (Signum Function)
यह केवल x का 'चिह्न' बताता है (+1, 0, या -1)। f(x) = |x|/x (x≠0 के लिए) तथा f(0) = 0
प्रांत: R | परिसर: {-1, 0, 1}
आलेख: तीन अलग-अलग क्षैतिज रेखा खंड/बिंदु।
7. महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function)
x से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। f(x) = [x]
प्रांत: R | परिसर: Z (सभी पूर्णांक)
आलेख: सीढ़ीनुमा ग्राफ (Step-like graph)। जैसे [2.3] = 2
वास्तविक फलनों का बीजगणित (Algebra of Real Functions)
जिस तरह हम संख्याओं को जोड़ते, घटाते, गुणा या भाग करते हैं, उसी प्रकार हम दो या दो से अधिक वास्तविक फलनों के बीच भी गणितीय संक्रियाएँ (Operations) कर सकते हैं। मान लीजिए f: X → R और g: X → R दो वास्तविक फलन हैं:
1. फलनों का योग (Addition)
दो फलनों को जोड़ने पर एक नया फलन बनता है।
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. फलनों का अंतर (Subtraction)
एक फलन में से दूसरे को घटाना।
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
3. फलनों का गुणन (Multiplication)
दो फलनों का बिंदुवार गुणन।
(fg)(x) = f(x) × g(x)
(fg)(x) = f(x) × g(x)
4. फलनों का भाग (Quotient)
एक फलन को दूसरे से भाग देना (जहाँ भाजक 0 न हो)।
(f / g)(x) = f(x) / g(x) , जहाँ g(x) ≠ 0
(f / g)(x) = f(x) / g(x) , जहाँ g(x) ≠ 0
अदिश से गुणन (Multiplication by a Scalar)
किसी फलन f(x) को एक अचर राशि 'α' (अल्फा) से गुणा करने पर:
(αf)(x) = α × f(x)
(αf)(x) = α × f(x)
अध्याय का सारांश (Chapter Summary)
इस पोस्ट में हमने NCERT कक्षा 11 के गणित के अध्याय 2 "संबंध एवं फलन" का विस्तार से विश्लेषण किया। क्रमित युग्मों से शुरू होकर, हमने कार्तीय गुणन, संबंध और उसके बाद फलनों की अवधारणा को स्पष्ट किया।
A × B
कार्तीय गुणन
R ⊆ A × B
संबंध (Relation)
Unique Image
फलन की शर्त
7 विशिष्ट फलन
आलेख व प्रकार
परीक्षा की दृष्टि से टिप
फलन का प्रांत (Domain) और परिसर (Range) निकालना परीक्षा के लिए सबसे महत्वपूर्ण विषय है। मापांक (Modulus) और महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function) के ग्राफ का अभ्यास अवश्य करें।