द्विघात समीकरण | Quadratic Equation
ax² + bx + c = 0
D = b²−4ac
x = [−b ± √D] / 2a
परवलय (Parabola)
द्विघात समीकरण
Quadratic Equation — जहाँ चर की उच्चतम घात 2 होती है
द्विघात समीकरण
घात 2 वाले बीजगणितीय समीकरणों का विस्तृत अध्ययन
द्विघात समीकरण क्या है?
द्विघात समीकरण वह बीजगणितीय समीकरण है जिसमें चर (variable) की उच्चतम घात 2 होती है। "द्वि" का अर्थ है दो और "घात" का अर्थ है power — इसीलिए इसे द्विघात कहते हैं।
ax² + bx + c = 0
जहाँ a ≠ 0, और a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं
पहचान
a = x² का गुणांक (leading coefficient, a ≠ 0) |
b = x का गुणांक |
c = अचर पद (constant)
उदाहरण: 2x² − 5x + 3 = 0 में a = 2, b = −5, c = 3 है।
महत्वपूर्ण
द्विघात समीकरण का ग्राफ परवलय (Parabola) होता है। यदि a > 0 तो परवलय ऊपर खुलता है (∪) और यदि a < 0 तो नीचे खुलता है (∩)।
द्विघात समीकरण के प्रकार
पूर्ण द्विघात
a, b और c तीनों पद उपस्थित होते हैं।
2x² + 5x + 3 = 0
अपूर्ण (b = 0)
b = 0, केवल x² और c पद होते हैं।
3x² − 12 = 0
अपूर्ण (c = 0)
c = 0, x को गुणनखंड के रूप में लिया जाता है।
4x² − 7x = 0
शुद्ध द्विघात
b = 0 और c = 0, केवल x² पद होता है।
5x² = 0
द्विघात समीकरण हल करने की विधियाँ
विधि 1 — गुणनखंड विधि (Factorization)
1
दो ऐसी संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल = a×c और योग = b हो।
2
b पद को उन दो संख्याओं में तोड़ें और गुणनखंड बनाएँ।
3
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल ज्ञात करें।
उदाहरण
x² − 5x + 6 = 0
→ गुणनफल = 6, योग = −5 → संख्याएँ: −2 और −3
→ (x − 2)(x − 3) = 0
→ x = 2 या x = 3
→ गुणनफल = 6, योग = −5 → संख्याएँ: −2 और −3
→ (x − 2)(x − 3) = 0
→ x = 2 या x = 3
विधि 2 — द्विघात सूत्र (Quadratic Formula)
1
समीकरण ax² + bx + c = 0 से a, b, c के मान पहचानें।
2
विविक्तकर D = b² − 4ac ज्ञात करें।
3
सूत्र में मान रखें: x = (−b ± √D) / 2a
4
+ और − दोनों के लिए मान निकालें — दोनों मूल प्राप्त होंगे।
उदाहरण
2x² + 5x + 3 = 0 → a=2, b=5, c=3
D = 25 − 24 = 1 → √D = 1
x = (−5 ± 1) / 4 → x = −1 या x = −3/2
D = 25 − 24 = 1 → √D = 1
x = (−5 ± 1) / 4 → x = −1 या x = −3/2
विधि 3 — पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the Square)
1
समीकरण को ax² + bx = −c के रूप में लिखें।
2
दोनों ओर (b/2a)² जोड़ें।
3
बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें।
4
वर्गमूल लेकर x का मान ज्ञात करें।
उदाहरण
x² + 6x + 5 = 0
→ x² + 6x = −5
→ x² + 6x + 9 = 4 → (x + 3)² = 4
→ x + 3 = ±2 → x = −1 या x = −5
→ x² + 6x = −5
→ x² + 6x + 9 = 4 → (x + 3)² = 4
→ x + 3 = ±2 → x = −1 या x = −5
विविक्तकर (Discriminant) — D = b² − 4ac
विविक्तकर (D) से हम बिना समीकरण हल किए मूलों की प्रकृति जान सकते हैं।
D > 0
दो वास्तविक और असमान मूल
ग्राफ x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटता है।
D = 0
दो समान वास्तविक मूल
ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
D < 0
दो काल्पनिक मूल
ग्राफ x-अक्ष को नहीं काटता — कोई वास्तविक मूल नहीं।
मूलों का योग और गुणनफल
यदि α और β, ax² + bx + c = 0 के मूल हों तो:
α + β = −b/a | α × β = c/a
α + β = −b/a | α × β = c/a
महत्वपूर्ण सूत्र
द्विघात सूत्र
x = [−b ± √(b²−4ac)] / 2a
विविक्तकर
D = b² − 4ac
मूलों का योग
α + β = −b/a
मूलों का गुणनफल
α × β = c/a
समीकरण का रूप (मूलों से)
x² − (α+β)x + αβ = 0
मूलों का अंतर
α − β = √D / a
द्विघात सूत्र कैलकुलेटर
ax² + bx + c = 0 के मूल ज्ञात करें
मूल यहाँ दिखाई देंगे…
मूलों की प्रकृति — तुलना तालिका
| समीकरण | a, b, c | D = b²−4ac | मूलों की प्रकृति | मूल |
|---|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1, −5, 6 | 25 − 24 = 1 > 0 | दो वास्तविक असमान | x = 2, 3 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 1, −4, 4 | 16 − 16 = 0 | दो समान वास्तविक | x = 2, 2 |
| x² + x + 1 = 0 | 1, 1, 1 | 1 − 4 = −3 < 0 | काल्पनिक मूल | कोई वास्तविक मूल नहीं |
| 2x² + 5x + 3 = 0 | 2, 5, 3 | 25 − 24 = 1 > 0 | दो वास्तविक असमान | x = −1, −3/2 |
| x² − 2x + 1 = 0 | 1, −2, 1 | 4 − 4 = 0 | दो समान वास्तविक | x = 1, 1 |
द्विघात समीकरणों के उपयोग
द्विघात समीकरणों का उपयोग वास्तविक जीवन की अनेक समस्याओं को सुलझाने में किया जाता है।
प्रक्षेप्य गति
इंजीनियरिंग
लाभ-हानि गणना
क्षेत्रफल समस्याएँ
भौतिकी
कंप्यूटर ग्राफिक्स
प्रक्षेप्य गति
किसी वस्तु की ऊँचाई समय के फलन के रूप में द्विघात समीकरण द्वारा व्यक्त होती है।
h = ut − ½gt²
क्षेत्रफल समस्याएँ
जब किसी भूमि की लंबाई-चौड़ाई और क्षेत्रफल दिया हो तो द्विघात समीकरण बनती है।
l × b = Area → द्विघात
अर्थशास्त्र
लाभ अधिकतम करने या लागत न्यूनतम करने की समस्याएँ।
P(x) = −ax² + bx − c
गति और दूरी
दो वस्तुओं की गति या मिलने के समय की गणना।
d = s × t → ax² + bx = d
ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
द्विघात समीकरणों का इतिहास लगभग 4000 वर्ष पुराना है। प्राचीन बेबीलोनियाई गणितज्ञों ने लगभग 2000 ईसा पूर्व द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ विकसित की थीं।
भारतीय योगदान
भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (628 ईस्वी) ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सूत्र दिया। श्रीधराचार्य (9वीं शताब्दी) ने द्विघात सूत्र का वर्तमान रूप में वर्णन किया — इसीलिए इसे "श्रीधराचार्य सूत्र" भी कहते हैं।
गणित वह भाषा है जिसमें ईश्वर ने ब्रह्मांड लिखा है — और द्विघात समीकरण उस भाषा का एक सुंदर वाक्य है।
अभ्यास प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्नों को हल करें
1
गुणनखंड विधि से हल करें: x² − 7x + 12 = 0
गुणनफल = 12, योग = −7 → संख्याएँ: −3 और −4
→ (x − 3)(x − 4) = 0
→ x = 3 या x = 4
→ (x − 3)(x − 4) = 0
→ x = 3 या x = 4
2
द्विघात सूत्र से हल करें: 3x² − 5x + 2 = 0
a=3, b=−5, c=2
D = 25 − 24 = 1 → √D = 1
x = (5 ± 1) / 6
→ x = 1 या x = 2/3
D = 25 − 24 = 1 → √D = 1
x = (5 ± 1) / 6
→ x = 1 या x = 2/3
3
विविक्तकर ज्ञात करें और मूलों की प्रकृति बताएँ: 4x² − 4x + 1 = 0
a=4, b=−4, c=1
D = 16 − 16 = 0
→ D = 0 इसलिए दो समान वास्तविक मूल
x = 4/8 = 1/2 (दोनों मूल समान)
D = 16 − 16 = 0
→ D = 0 इसलिए दो समान वास्तविक मूल
x = 4/8 = 1/2 (दोनों मूल समान)
4
एक आयत की लंबाई, चौड़ाई से 3 सेमी अधिक है। यदि क्षेत्रफल 40 वर्ग सेमी है, तो विमाएँ ज्ञात करें।
माना चौड़ाई = x, तो लंबाई = x + 3
x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0
(x + 8)(x − 5) = 0
x = 5 (ऋणात्मक मान अस्वीकार)
→ चौड़ाई = 5 सेमी, लंबाई = 8 सेमी
x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0
(x + 8)(x − 5) = 0
x = 5 (ऋणात्मक मान अस्वीकार)
→ चौड़ाई = 5 सेमी, लंबाई = 8 सेमी
5
यदि एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग 5 और गुणनफल 6 है, तो समीकरण ज्ञात करें।
सूत्र: x² − (α+β)x + αβ = 0
→ x² − 5x + 6 = 0
→ x² − 5x + 6 = 0 (मूल: 2 और 3)
→ x² − 5x + 6 = 0
→ x² − 5x + 6 = 0 (मूल: 2 और 3)
पोस्ट का सारांश
4 प्रकार
द्विघात के वर्ग
3 विधियाँ
हल करने के तरीके
6 सूत्र
महत्वपूर्ण फॉर्मूले
5 प्रश्न
अभ्यास के लिए
अगला अध्ययन करें
इसके बाद घन समीकरण → बहुपद → श्रेणियाँ का विस्तृत अध्ययन करें।