त्रिभुज प्रमेय | Triangle theorem | Mathwayy

Hemant Verma

1 Jan, 2026

त्रिभुज प्रमेय | Triangle Theorems

∠A + ∠B + ∠C = 180° AC² = AB² + BC² पाइथागोरस 9 प्रमेय

त्रिभुज प्रमेय

Triangle Theorems — विस्तृत व्याख्या, सिद्धि एवं उदाहरण सहित पूर्ण समाधान

त्रिभुज प्रमेय संपूर्ण समाधान

त्रिभुज के सभी महत्वपूर्ण प्रमेय — विस्तृत सिद्धि एवं उदाहरण

त्रिभुज प्रमेय — परिचय (Introduction)

त्रिभुज (Triangle) ज्यामिति की सबसे मूलभूत आकृति है। त्रिभुज से संबंधित प्रमेय वे सिद्ध तथ्य हैं जो हमें भुजाओं, कोणों और क्षेत्रफल के बीच संबंध बताते हैं। ये प्रमेय कक्षा 9 से 12 तक गणित का आधार हैं।

प्रमेय	मुख्य सूत्र / कथन	श्रेणी
कोण योग	∠A + ∠B + ∠C = 180°	आधारभूत
बाह्य कोण	∠ACD = ∠A + ∠B	आधारभूत
पाइथागोरस	AC² = AB² + BC²	समकोण
असमिका	AB + AC > BC	असमिका
समद्विबाहु	AB = AC ⇒ ∠B = ∠C	विशेष
मध्यिका (अपोलोनियस)	AB² + AC² = 2(AD² + BD²)	उन्नत
समरूपता	AAA / SSS / SAS	समरूपता
शीर्षलंब	BD² = AD × DC	समकोण
परिकेंद्र	R = abc/(4Δ)	केंद्र

नौ महत्वपूर्ण त्रिभुज प्रमेय (9 Theorems)

1. त्रिभुज का कोण योग प्रमेय

किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

∠A + ∠B + ∠C = 180°

सिद्धि

मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है। हमें सिद्ध करना है कि ∠A + ∠B + ∠C = 180°

रचना: BC के समांतर रेखा AD खींचिए जो A से गुजरती हो।

प्रमाण:
1. चूँकि AD ∥ BC और AB तिर्यक रेखा है
   ∴ ∠DAB = ∠ABC (एकांतर कोण) ...(1)

2. चूँकि AD ∥ BC और AC तिर्यक रेखा है
   ∴ ∠DAC = ∠ACB (एकांतर कोण) ...(2)

3. ∠DAB + ∠BAC + ∠DAC = 180° (सरल रेखा DAD' पर कोण)

4. समीकरण (1) और (2) से मान रखने पर:
   ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
   अतः ∠A + ∠B + ∠C = 180° (सिद्ध)

📝 नोट

यूक्लिड के ज्यामिति का मौलिक प्रमेय — सभी प्रकार के त्रिभुजों के लिए सत्य।

Angle Sum Property

2. बाह्य कोण प्रमेय

त्रिभुज का बाह्य कोण दोनों सम्मुख अंतःकोणों के योग के बराबर होता है।

∠ACD = ∠A + ∠B

सिद्धि

मान लीजिए △ABC में BC को D तक बढ़ाया गया है ताकि ∠ACD बाह्य कोण बने।

प्रमाण:
1. ∠ACB + ∠ACD = 180° (रैखिक युग्म) ...(1)

2. त्रिभुज के कोण योग प्रमेय से:
   ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° ...(2)

3. समीकरण (1) और (2) से:
   ∠ACB + ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB

4. दोनों ओर से ∠ACB घटाने पर:
   ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC
   अतः बाह्य कोण ∠ACD = ∠A + ∠B (सिद्ध)

📝 नोट

बाह्य कोण सदैव अपने दोनों सम्मुख अंतःकोणों से बड़ा होता है।

Exterior Angle Theorem

3. पाइथागोरस प्रमेय

समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग = शेष दो भुजाओं के वर्गों का योग।

AC² = AB² + BC²

सिद्धि

मान लीजिए △ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90°
हमें सिद्ध करना है कि AC² = AB² + BC²

रचना: BD ⊥ AC खींचिए

प्रमाण:
1. △ADB और △ABC समरूप हैं
   (∠A उभयनिष्ठ, ∠ADB = ∠ABC = 90°)
   ∴ AD/AB = AB/AC
   ⇒ AB² = AD × AC ...(1)

2. △BDC और △ABC समरूप हैं
   (∠C उभयनिष्ठ, ∠BDC = ∠ABC = 90°)
   ∴ CD/BC = BC/AC
   ⇒ BC² = CD × AC ...(2)

3. (1) और (2) को जोड़ने पर:
   AB² + BC² = AD × AC + CD × AC
   = AC(AD + CD) = AC × AC
   अतः AC² = AB² + BC² (सिद्ध)

📝 नोट

300 से अधिक तरीकों से सिद्ध — ज्यामिति का सबसे प्रसिद्ध प्रमेय।

Pythagoras Theorem

4. त्रिभुज की असमिका प्रमेय

त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।

AB + AC > BC | AB + BC > AC | AC + BC > AB

सिद्धि (AB + AC > BC के लिए)

मान लीजिए △ABC एक त्रिभुज है।

रचना: BA को D तक बढ़ाइए ताकि AD = AC हो। CD को मिलाइए।

प्रमाण:
1. △ADC में, AD = AC (रचना से)
   ∴ ∠ADC = ∠ACD ...(1)

2. ∠BCD > ∠ACD (संपूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है)
   ∴ ∠BCD > ∠ADC ...(1) से

3. △BCD में, ∠BCD > ∠BDC
   ∴ BD > BC (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

4. परंतु BD = BA + AD = BA + AC
   ∴ BA + AC > BC (सिद्ध)

इसी प्रकार AB + BC > AC और AC + BC > AB भी सिद्ध होते हैं।

📝 नोट

यह जाँचने में उपयोगी कि तीन भुजाएँ त्रिभुज बना सकती हैं या नहीं।

Triangle Inequality

5. समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय

समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

AB = AC ⇒ ∠B = ∠C

सिद्धि

मान लीजिए △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC।
हमें सिद्ध करना है कि ∠B = ∠C

रचना: ∠A का समद्विभाजक AD खींचिए जो BC को D पर मिलता है।

प्रमाण: △ABD और △ACD में,
1. AB = AC (दिया है)
2. AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा)
3. ∠BAD = ∠CAD (रचना से, AD समद्विभाजक है)

∴ △ABD ≅ △ACD (SAS सर्वांगसमता नियम से)
अतः ∠B = ∠C (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण) (सिद्ध)

📝 नोट

व्युत्क्रम भी सत्य है: ∠B = ∠C ⇒ AB = AC

Isosceles Triangle Theorem

6. अपोलोनियस प्रमेय (मध्यिका)

त्रिभुज में AD मध्यिका हो (BD = DC) तो:

AB² + AC² = 2(AD² + BD²)

सिद्धि

मान लीजिए △ABC में, AD मध्यिका है (BD = DC)।

रचना: AE ⊥ BC खींचिए

प्रमाण:
पाइथागोरस प्रमेय से:
1. △AEB में: AB² = AE² + BE² ...(1)
2. △AEC में: AC² = AE² + CE² ...(2)

(1) और (2) को जोड़ने पर:
AB² + AC² = 2AE² + BE² + CE²

BE = BD − DE और CE = CD + DE = BD + DE (∵ BD = CD)
∴ BE² + CE² = (BD − DE)² + (BD + DE)²
  = (BD² − 2BD·DE + DE²) + (BD² + 2BD·DE + DE²)
  = 2BD² + 2DE²

अतः AB² + AC² = 2AE² + 2BD² + 2DE²
  = 2(AE² + DE²) + 2BD²
  = 2AD² + 2BD² (∵ △ADE में AD² = AE² + DE²)
  = 2(AD² + BD²) (सिद्ध)

📝 नोट

यह प्रमेय त्रिभुज की भुजाओं और मध्यिका के बीच संबंध देता है।

Apollonius Theorem

7. त्रिभुज समरूपता प्रमेय

दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि: AAA, SSS, या SAS शर्त पूरी हो।

△ABC ~ △DEF ⇒ AB/DE = BC/EF = AC/DF

सिद्धि (AAA के लिए)

मान लीजिए △ABC और △DEF में, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

रचना: DE पर बिंदु P इस प्रकार लीजिए कि DP = AB और DF पर बिंदु Q इस प्रकार लीजिए कि DQ = AC। PQ मिलाइए।

प्रमाण:
△ABC और △DPQ में,
1. AB = DP (रचना से)
2. AC = DQ (रचना से)
3. ∠A = ∠D (दिया है)
∴ △ABC ≅ △DPQ (SAS सर्वांगसमता)
⇒ ∠B = ∠DPQ और ∠C = ∠DQP

परंतु ∠B = ∠E (दिया है) ⇒ ∠DPQ = ∠E
और ∠C = ∠F (दिया है) ⇒ ∠DQP = ∠F

∴ PQ ∥ EF (संगत कोण बराबर होने पर)
∴ DP/DE = DQ/DF = PQ/EF (थेल्स प्रमेय से)
⇒ AB/DE = AC/DF = BC/EF (∵ △ABC ≅ △DPQ)
अतः △ABC ~ △DEF (सिद्ध)

📝 नोट

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल भुजाओं के वर्गों के समानुपाती होते हैं।

AAA / SSS / SAS

8. शीर्षलंब प्रमेय

समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब का वर्ग = शीर्षलंब द्वारा कर्ण के दोनों खंडों का गुणनफल।

BD² = AD × DC

सिद्धि

मान लीजिए △ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90° और BD ⊥ AC

प्रमाण: △ADB और △BDC समरूप हैं क्योंकि:
1. ∠ADB = ∠BDC = 90°
2. ∠BAD = ∠DBC (दोनों (90° − ∠C) के बराबर)
∴ △ADB ~ △BDC (AA समरूपता)

∴ AD/BD = BD/DC (संगत भुजाओं का अनुपात)
⇒ BD² = AD × DC (सिद्ध)

इसी प्रकार: AB² = AD × AC और BC² = DC × AC

📝 नोट

समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब ज्ञात करने की सरल विधि।

Altitude Theorem

9. अंत:केंद्र और परिकेंद्र प्रमेय

परिकेंद्र त्रिज्या: R = abc/(4Δ)
यूलर रेखा: H, O, G संरेख

R = abc/(4Δ) | AI = r/sin(A/2)

सिद्धि (परिकेंद्र के लिए)

मान लीजिए △ABC का परिकेंद्र O है और परित्रिज्या R है।

प्रमाण:
1. △OBC में, ∠BOC = 2∠A
   (चाप BC द्वारा केंद्र पर कोण = 2 × परिधि पर कोण)

2. समद्विबाहु △OBC में (OB = OC = R):
   BC/sin(∠BOC) = 2R (ज्या नियम से)
   ⇒ a/sin(2A) = 2R

3. परंतु त्रिभुज का क्षेत्रफल Δ = (1/2)bc sinA
   ⇒ sinA = 2Δ/(bc)

4. ज्या नियम: a/(sinA) = 2R
   ⇒ R = a/(2 sinA) = a × bc/(2 × 2Δ)
   ⇒ R = abc/(4Δ) (सिद्ध)

यूलर रेखा: लंबकेंद्र H, परिकेंद्र O, और मध्यिका केंद्र G सभी एक ही रेखा पर होते हैं और OG : GH = 1 : 2

📝 नोट

H (लंबकेंद्र), O (परिकेंद्र), G (मध्यिका केंद्र) — यूलर रेखा पर संरेख।

Circumcentre & Incentre

सभी प्रमेयों के सूत्र — एक नज़र में

त्वरित संदर्भ

1. कोण योग: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
2. बाह्य कोण: ∠ext = ∠A + ∠B
3. पाइथागोरस: c² = a² + b²
4. असमिका: a + b > c (सभी के लिए)
5. समद्विबाहु: AB = AC ⇔ ∠B = ∠C
6. मध्यिका: AB² + AC² = 2(AD² + BD²)
7. समरूपता: △ABC ~ △DEF ⇒ AB/DE = BC/EF = AC/DF
8. शीर्षलंब: BD² = AD × DC
9. परिकेंद्र: R = abc/(4Δ)

महत्वपूर्ण उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण — पाइथागोरस प्रमेय

प्रश्न

एक समकोण त्रिभुज में दो भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं। कर्ण ज्ञात करें।

पाइथागोरस प्रमेय: c² = a² + b²

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

c = √25 = 5 cm ✓ (यह 3-4-5 पाइथागोरस त्रिक है)

उदाहरण — बाह्य कोण प्रमेय

प्रश्न

△ABC में ∠A = 60°, ∠B = 70°। BC को D तक बढ़ाया जाए, तो बाह्य कोण ∠ACD = ?

बाह्य कोण प्रमेय: ∠ACD = ∠A + ∠B

∠ACD = 60° + 70° = 130° ✓

उदाहरण — त्रिभुज असमिका

प्रश्न

क्या 5, 8, 14 भुजाओं से त्रिभुज बन सकता है?

5 + 8 = 13 < 14 ❌ (शर्त: योग > तीसरी भुजा)

चूँकि 5 + 8 > 14 की शर्त पूरी नहीं → त्रिभुज नहीं बनेगा।

ज्यामिति एकमात्र विज्ञान है जो ईश्वर ने मनुष्य को दिया।

— प्लेटो

पोस्ट का सारांश

इस पोस्ट में हमने त्रिभुज के 9 महत्वपूर्ण प्रमेय — कोण योग, बाह्य कोण, पाइथागोरस, असमिका, समद्विबाहु, अपोलोनियस, समरूपता, शीर्षलंब और परिकेंद्र — को विस्तृत सिद्धि और उदाहरण सहित समझा।

9 प्रमेय

त्रिभुज के नियम

पाइथागोरस

c² = a² + b²

कोण योग

180°

समरूपता

AAA / SSS / SAS

अगला अध्ययन करें

अगली पोस्ट में चतुर्भुज के प्रमेय (Quadrilateral Theorems) और वृत्त के प्रमेय (Circle Theorems) का विस्तृत अध्ययन करेंगे।