अनुपात और समानुपात | Ratio and Proportion | Mathwayy
Ratio & Proportion
a : b :: c : d
Coins & Income Problems
Cross Multiplication
अनुपात और समानुपात
Ratio & Proportion — अवधारणा, प्रकार, प्रथमानुपाती/मध्यानुपाती/तृतीयानुपाती, सिक्कों व आय-व्यय की ट्रिक्स
अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion)
गणितीय तुलना और समान बंटवारे का सबसे महत्वपूर्ण आधार
प्रस्तावना एवं मूल अवधारणाएँ (Basic Concepts)
अंकगणित (Arithmetic) में दो या दो से अधिक **सजातीय राशियों (Same Units)** के बीच तुलना करने का सबसे सशक्त माध्यम अनुपात (Ratio) है, जबकि दो अनुपातों की समानता को समानुपात (Proportion) कहा जाता है। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, UPSI, Railway, Banking) में मिश्रण, साझेदारी, आयु संबंधी प्रश्न और औसत को हल करने की कुंजी यही अध्याय है।
1. अनुपात (Ratio)
यह दर्शाता है कि एक राशि दूसरी राशि से कितनी गुनी है। इसे ' : ' चिह्न द्वारा व्यक्त करते हैं। भिन्न रूप में इसे a/b लिखा जाता है।
a : b = a / b
2. समानुपात (Proportion)
जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो वे समानुपात में कहलाते हैं। इसे ' :: ' या '=' चिह्न द्वारा दर्शाते हैं।
a : b :: c : d ➔ (a / b) = (c / d)
समानुपात का स्वर्णिम नियम (Rule of Extremes & Means)
यदि चार राशियाँ a, b, c, d समानुपात में हों (a : b :: c : d):
• **बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल**
• a × d = b × c (जहाँ a, d बाह्य पद तथा b, c मध्य पद हैं)।
• **बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल**
• a × d = b × c (जहाँ a, d बाह्य पद तथा b, c मध्य पद हैं)।
अनुपात के विभिन्न प्रकार (Types of Ratios)
1. मिश्रित अनुपात (Compound Ratio)
दो या अधिक अनुपातों के पूर्व पदों के गुणनफल और उत्तर पदों के गुणनफल से बना अनुपात।
(a : b) और (c : d) ➔ ac : bd
2. वर्गानुपात (Duplicate Ratio)
किसी अनुपात के पदों का वर्ग (Square) करने पर प्राप्त अनुपात।
(a : b) का वर्गानुपात = a² : b²
3. वर्गमूलानुपात (Sub-Duplicate)
किसी अनुपात के पदों का वर्गमूल (Square Root) निकालने पर प्राप्त अनुपात।
(a : b) का वर्गमूलानुपात = √a : √b
4. घनानुपात (Triplicate Ratio)
किसी अनुपात के पदों का घन (Cube) करने पर प्राप्त अनुपात।
(a : b) का घनानुपात = a³ : b³
5. घनमूलानुपात (Sub-Triplicate)
किसी अनुपात के पदों का घनमूल (Cube Root) लेने पर प्राप्त अनुपात।
(a : b) का घनमूलानुपात = ∛a : ∛b
6. विलोमानुपात (Inverse / Reciprocal)
किसी अनुपात के पदों के व्युत्क्रम से प्राप्त अनुपात।
(a : b) का विलोमानुपात = b : a
विभिन्न समानुपाती पद ज्ञात करने के मास्टर सूत्र
प्रतियोगी परीक्षा के अत्यंत लोकप्रिय प्रश्न:
1. प्रथमानुपाती (First Proportional - x)
यदि a, b, c का प्रथमानुपाती x है (x : a :: b : c): x = (a × b) / c
2. मध्यानुपाती (Mean Proportional - Mean)
दो संख्याओं a और b का मध्यानुपाती: Mean Proportional = √(a × b)
3. तृतीयानुपाती (Third Proportional - t)
दो संख्याओं a और b का तृतीयानुपाती (a : b :: b : t): t = b² / a
4. चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional - d)
तीन संख्याओं a, b, c का चतुर्थानुपाती (a : b :: c : d): d = (b × c) / a
अनुपातों को आपस में जोड़ने की शार्टकट ट्रिक्स (Combining Ratios)
ट्रिक 1: A : B और B : C से A : B : C ज्ञात करना ('N' Method)
यदि A : B = 2 : 3 तथा B : C = 4 : 5 दिया गया हो:
• A = (2 × 4) = 8
• B = (3 × 4) = 12
• C = (3 × 5) = 15
➔ A : B : C = 8 : 12 : 15।
ट्रिक 2: यदि 2A = 3B = 4C दिया गया हो
A : B : C निकालने के लिए गुणांकों का **LCM (ल.स.प.)** लें:
• 2, 3, 4 का LCM = 12
• A = 12/2 = 6 | B = 12/3 = 4 | C = 12/4 = 3
➔ A : B : C = 6 : 4 : 3।
सिक्कों एवं आय-व्यय संबंधी विशेष प्रश्न (Coins & Income Concepts)
सिक्कों वाले प्रश्न (Coins Concept)
• सिक्कों के मान का सूत्र: सिक्कों का कुल मूल्य = (सिक्कों की संख्या) × (प्रत्येक सिक्के का मान)।
• यदि सिक्कों की संख्या का अनुपात दिया है, तो उन्हें मूल्य में बदलकर कुल मूल्य के बराबर रखें।
• यदि सिक्कों की संख्या का अनुपात दिया है, तो उन्हें मूल्य में बदलकर कुल मूल्य के बराबर रखें।
आय-व्यय-बचत प्रश्न (Income & Expenditure)
• मूल सूत्र: आय (Income) = व्यय (Expenditure) + बचत (Savings)।
• आय में से बचत घटाने पर खर्च का अनुपात प्राप्त होता है [(I₁ − S₁) / (I₂ − S₂)].
• आय में से बचत घटाने पर खर्च का अनुपात प्राप्त होता है [(I₁ − S₁) / (I₂ − S₂)].
विभिन्न प्रकार के हल किए गए उदाहरण (Step-by-Step Solved Examples)
उदा. 1
9 और 25 का मध्यानुपाती (Mean Proportional) ज्ञात कीजिए।
• सूत्र: मध्यानुपाती = √(a × b)
• √(9 × 25) = √225 = 15।
• √(9 × 25) = √225 = 15।
उदा. 2
12, 14 तथा 24 का चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional) क्या होगा?
• सूत्र: d = (b × c) / a
• यहाँ a = 12, b = 14, c = 24
• d = (14 × 24) / 12 = 14 × 2 = 28।
• यहाँ a = 12, b = 14, c = 24
• d = (14 × 24) / 12 = 14 × 2 = 28।
उदा. 3
एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 5 : 6 : 8 के अनुपात में हैं। यदि थैले में कुल धन ₹240 है, तो 50 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात करें।
• सिक्कों का अनुपात = 5x, 6x, 8x
• रुपये में मान: ₹1 = 5x | 50p = (6x/2) = 3x | 25p = (8x/4) = 2x
• कुल मूल्य = 5x + 3x + 2x = 10x ➔ 10x = 240 ➔ x = 24
• 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 6x = 6 × 24 = 144 सिक्के।
• रुपये में मान: ₹1 = 5x | 50p = (6x/2) = 3x | 25p = (8x/4) = 2x
• कुल मूल्य = 5x + 3x + 2x = 10x ➔ 10x = 240 ➔ x = 24
• 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 6x = 6 × 24 = 144 सिक्के।
तुलनात्मक सारणी: अनुपाती मानों के सूत्र
| अनुपाती पद | दी गई राशियाँ | समानुपात संरचना | हल का सूत्र |
|---|---|---|---|
| प्रथमानुपाती | a, b, c | x : a :: b : c | x = (a × b) / c |
| मध्यानुपाती | a, b | a : x :: x : b | x = √(a × b) |
| तृतीयानुपाती | a, b | a : b :: b : x | x = b² / a |
| चतुर्थानुपाती | a, b, c | a : b :: c : x | x = (b × c) / a |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
क्या दो अलग-अलग इकाइयों (जैसे: 5 मीटर और 500 ग्राम) का अनुपात निकाला जा सकता है?
नहीं! अनुपात केवल सजातीय (समान इकाइयों वाली) राशियों का ही निकाला जा सकता है। विषम इकाइयों का अनुपात संभव नहीं है।
Q2
क्या अनुपात का कोई मात्रक (Unit) होता है?
नहीं, अनुपात समान इकाइयों का विभाजन (a/b) होता है, इसलिए यह एक **इकाई-रहित (Dimensionless/Unitless)** संख्या है।
Q3
अनुपाती अंतर नियम (Componendo and Dividendo - C&D Rule) क्या है?
यदि a/b = c/d हो, तो C&D नियम से: (a + b) / (a − b) = (c + d) / (c − d) होता है।
Q4
सिक्कों वाले प्रश्नों में 50 पैसे को रुपये में बदलने के लिए क्या करते हैं?
50 पैसे के सिक्कों की संख्या को 2 से भाग (या 1/2 से गुणा) करके रुपये में परिवर्तित किया जाता है।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
अनुपात और समानुपात के सिद्धांतों, सूत्रों और शार्टकट ट्रिक्स को पढ़ने के बाद अब लाइव ऑनलाइन टेस्ट देकर अपनी गति जांचें:
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