रैखिक समीकरण | Linear Equations | Mathwayy
ax + b = 0
ax² + bx + c = 0
x = [−b ± √D] / 2a
Algebraic Equations
बीजगणितीय समीकरण
Algebraic Equations — प्रकार, हल विधियाँ, विविक्तकर और वास्तविक जीवन अनुप्रयोग
बीजगणितीय समीकरणों की दुनिया में आपका स्वागत है
चरों और अचरों के बीच संबंधों की गणितीय अभिव्यक्ति
बीजगणितीय समीकरण का परिचय
बीजगणितीय समीकरण दो बीजगणितीय व्यंजकों की समानता को दर्शाता है जिसमें एक या अधिक चर (Variables) होते हैं।
समीकरण गणित की आधारशिला हैं और विज्ञान, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र सहित अनेक क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं।
महत्वपूर्ण बिंदु
LHS = RHS — बाईं ओर और दाईं ओर के व्यंजक बराबर होते हैं।
समीकरण का हल = वह चर-मान जिससे LHS = RHS सत्य हो।
समीकरण vs सर्वसमिका: समीकरण कुछ मानों के लिए सत्य, सर्वसमिका सभी मानों के लिए।
समीकरण का हल = वह चर-मान जिससे LHS = RHS सत्य हो।
समीकरण vs सर्वसमिका: समीकरण कुछ मानों के लिए सत्य, सर्वसमिका सभी मानों के लिए।
उदाहरण
2x + 3 = 7 — यह एक समीकरण है (x = 2 पर सत्य)
(a+b)² = a²+2ab+b² — यह एक सर्वसमिका है (सभी a, b पर सत्य)
(a+b)² = a²+2ab+b² — यह एक सर्वसमिका है (सभी a, b पर सत्य)
समीकरणों के प्रकार
रैखिक समीकरण
चर की उच्चतम घात = 1। आलेख — सीधी रेखा।
ax + b = 02x + 3 = 7
द्विघात समीकरण
चर की उच्चतम घात = 2। आलेख — परवलय।
ax² + bx + c = 0x² − 5x + 6 = 0
त्रिघात समीकरण
चर की उच्चतम घात = 3। अधिकतम 3 वास्तविक मूल।
ax³ + bx² + cx + d = 0
बहुपदीय समीकरण
n घात के बहुपद के अधिकतम n मूल होते हैं।
aₙxⁿ + ... + a₀ = 0x⁴ − 3x² + 2 = 0
| प्रकार | घात | मूलों की संख्या | आलेख |
|---|---|---|---|
| रैखिक | 1 | 1 | सीधी रेखा |
| द्विघात | 2 | अधिकतम 2 | परवलय |
| त्रिघात | 3 | अधिकतम 3 | घन वक्र |
| n-घात | n | अधिकतम n | n-वक्र |
समीकरणों के हल की विधियाँ
रैखिक समीकरण का हल
चरण-दर-चरण विधि
- 1 दोनों ओर समान संख्या जोड़ें/घटाएं — समानता बनी रहती है
- 2 दोनों ओर समान संख्या से गुणा/भाग करें
- 3 चर को एक तरफ, अचर को दूसरी तरफ लाएं
उदाहरण 1 — 2x + 5 = 11
2x = 11 − 5 = 6
x = 6/2 = 3 ✓ (जाँच: 2×3+5 = 11 ✓)
x = 6/2 = 3 ✓ (जाँच: 2×3+5 = 11 ✓)
उदाहरण 2 — 2(x − 3) = 10
2x − 6 = 10 → 2x = 16
x = 8 ✓
x = 8 ✓
द्विघात समीकरण की तीन विधियाँ
गुणनखंड विधि
समीकरण के गुणनखंड करके मूल निकालें।
x² − 5x + 6 = 0 (x−2)(x−3) = 0 x = 2, 3
x² − 5x + 6 = 0 (x−2)(x−3) = 0 x = 2, 3
पूर्ण वर्ग विधि
समीकरण को पूर्ण वर्ग रूप में बदलें।
x² + 6x + 5 = 0 (x+3)² = 4 x + 3 = ±2 → x = −1, −5
x² + 6x + 5 = 0 (x+3)² = 4 x + 3 = ±2 → x = −1, −5
श्रीधराचार्य सूत्र
सार्वभौमिक द्विघात सूत्र।
x = [−b ± √(b²−4ac)] / 2a D = b² − 4ac (विविक्तकर)
x = [−b ± √(b²−4ac)] / 2a D = b² − 4ac (विविक्तकर)
श्रीधराचार्य सूत्र — 2x² + 5x − 3 = 0
a = 2, b = 5, c = −3
D = b²−4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49
x = [−5 ± √49] / 4 = [−5 ± 7] / 4
x = 2/4 = 1/2 या x = −12/4 = −3
D = b²−4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49
x = [−5 ± √49] / 4 = [−5 ± 7] / 4
x = 2/4 = 1/2 या x = −12/4 = −3
विविक्तकर और मूलों की प्रकृति (D = b² − 4ac)
D = b² − 4ac → Discriminant
D का मान बताता है कि मूल वास्तविक हैं या काल्पनिक
D > 0
दो भिन्न वास्तविक मूल
परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।
x²−5x+6=0 → D=1 → x=2,3
परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।
D = 0
दो समान वास्तविक मूल
परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
x²−4x+4=0 → D=0 → x=2,2
परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
D < 0
काल्पनिक मूल
परवलय x-अक्ष को नहीं काटता।
x²+x+1=0 → D=−3 → काल्पनिक
परवलय x-अक्ष को नहीं काटता।
| D का मान | मूलों की प्रकृति | उदाहरण |
|---|---|---|
| D > 0 | वास्तविक और भिन्न (2 मूल) | x²−5x+6=0 → D=1 |
| D = 0 | वास्तविक और समान (1 मूल) | x²−4x+4=0 → D=0 |
| D < 0 | काल्पनिक मूल (वास्तविक नहीं) | x²+x+1=0 → D=−3 |
समीकरणों के गुणधर्म
समतुल्यता गुण
दोनों ओर समान संख्या जोड़ने/घटाने/गुणा/भाग से हल नहीं बदलता।
x=5 → x+2=7 ✓
क्रमविनिमेय
पदों का क्रम बदलने से समीकरण नहीं बदलता।
x+y = y+x
साहचर्य
समूहन बदलने से समीकरण नहीं बदलता।
(x+y)+z = x+(y+z)
वितरण गुण
गुणन का योग पर वितरण होता है।
a(b+c) = ab+ac
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग और इतिहास
भौतिकी — गति समीकरण
अर्थशास्त्र — लागत फलन
इंजीनियरिंग — डिजाइन
कंप्यूटर — एल्गोरिदम
विज्ञान — रासायनिक संतुलन
ऐतिहासिक विकास
1800
BC
BC
बेबीलोन और मिस्र — प्रारंभिक रूप
प्राचीन सभ्यताओं ने रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ विकसित कीं।
7वीं
शता.
शता.
ब्रह्मगुप्त — भारतीय योगदान
ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरणों के हल दिए। श्रीधराचार्य ने द्विघात सूत्र का विकास किया।
9वीं
शता.
शता.
अल-ख्वारिज्मी — "अल-जबर"
अल-ख्वारिज्मी ने "किताब अल-जबर वाल-मुकाबला" लिखी — "बीजगणित" शब्द "अल-जबर" से आया।
16वीं
शता.
शता.
इटली — त्रिघात और चतुर्घात सूत्र
इटली के गणितज्ञों ने त्रिघात और चतुर्घात समीकरणों के हल के सूत्र खोजे — एक रोमांचक प्रतियोगिता में!
19वीं
शता.
शता.
गैलोइस और एबेल — क्रांतिकारी कार्य
गैलोइस और एबेल ने सिद्ध किया कि पाँचवीं या उच्च घात के समीकरणों का सामान्य सूत्र-हल संभव नहीं है।
दिलचस्प तथ्य
त्रिघात और चतुर्घात सूत्रों की खोज के लिए 16वीं शताब्दी में इटालियन गणितज्ञों के बीच सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ होती थीं जिनमें विजेता को पैसा और प्रसिद्धि मिलती थी!
बीजगणित मानवीय विचार की सबसे महान उपलब्धियों में से एक है — यह अज्ञात को ज्ञात से जोड़ने की अद्भुत कला है।
अभ्यास प्रश्न (उत्तर देखें)
1
3x + 5 = 14 — x ज्ञात करें।
3x = 14 − 5 = 9
x = 9/3 = 3
x = 9/3 = 3
2
2(x − 3) = 10 — x ज्ञात करें।
2x − 6 = 10
2x = 16 → x = 8
2x = 16 → x = 8
3
x² − 5x + 6 = 0 — गुणनखंड विधि से हल करें।
(x−2)(x−3) = 0
x = 2, 3
x = 2, 3
4
2x² + 5x − 3 = 0 — श्रीधराचार्य सूत्र से हल करें।
D = 25 + 24 = 49
x = (−5 ± 7)/4
x = 1/2 या x = −3
x = (−5 ± 7)/4
x = 1/2 या x = −3
5
x² − 4x + 4 = 0 — विविक्तकर ज्ञात करें और मूलों की प्रकृति बताएं।
D = (−4)² − 4(1)(4) = 16−16 = 0
D = 0 → समान वास्तविक मूल
x = 4/2 = 2, 2
D = 0 → समान वास्तविक मूल
x = 4/2 = 2, 2
6
x² + x + 1 = 0 — मूलों की प्रकृति बताएं।
D = 1 − 4(1)(1) = 1−4 = −3
D < 0 → काल्पनिक मूल
कोई वास्तविक हल नहीं।
D < 0 → काल्पनिक मूल
कोई वास्तविक हल नहीं।
7
5x − 2 = 3x + 8 — x ज्ञात करें।
5x − 3x = 8 + 2
2x = 10 → x = 5
2x = 10 → x = 5
8
x² − 7x + 12 = 0 — गुणनखंड विधि से हल करें।
12 = 3×4, 3+4=7
(x−3)(x−4) = 0
x = 3, 4
(x−3)(x−4) = 0
x = 3, 4
पोस्ट का सारांश
4 प्रकार
रैखिक से बहुपदीय
3 हल विधियाँ
गुणनखंड, पूर्ण वर्ग, सूत्र
विविक्तकर D
मूलों की प्रकृति
8 प्रश्न
हल सहित अभ्यास
अगला अध्ययन करें
इसके बाद युगपत समीकरण → असमीकरण → अनुक्रम और श्रेणी → त्रिकोणमिति पढ़ें।