परिमेय संख्याएँ | Rational Numbers | Mathwayy
Q = {p/q : q ≠ 0}
Rational Numbers
Terminating & Repeating
Quotient Sets
परिमेय संख्याएं
Rational Numbers — परिभाषा, प्रकार, दशमलव प्रसार, गुणधर्म और महत्वपूर्ण नियम
परिमेय संख्याएं (Rational Numbers)
भिन्न और पूर्ण अंकों का व्यापक गणितीय स्वरूप
प्रस्तावना एवं परिभाषा (Introduction)
वे सभी संख्याएं जिन्हें अंश और हर के अनुपात के रूप में अर्थात् p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, उन्हें परिमेय संख्याएं (Rational Numbers) कहते हैं। यहाँ शर्त यह होती है कि अंश 'p' और हर 'q' दोनों अनिवार्य रूप से पूर्णांक (Integers) होने चाहिए और हर का मान कभी भी शून्य नहीं होना चाहिए (q ≠ 0)।
समुच्चय एवं संकेत (Set Notation)
परिमेय संख्याओं के समूह को अंग्रेजी के शब्द "Quotient" के आधार पर 'Q' द्वारा दर्शाया जाता है:
Q = { p/q : p, q ∈ Z और q ≠ 0 }
Q = { p/q : p, q ∈ Z और q ≠ 0 }
शब्द की उत्पत्ति
'Rational' शब्द की उत्पत्ति 'Ratio' (अनुपात) से हुई है, क्योंकि यह दो पूर्णांकों के अनुपात को दर्शाती है।
उदाहरण: 3/4, -5/2, 7 (क्योंकि 7 = 7/1), 0 (क्योंकि 0 = 0/1) और 0.5 (क्योंकि 0.5 = 1/2)।
परिमेय संख्याओं का वर्गीकरण (Types of Rational Numbers)
चिह्नों और मानों के आधार पर परिमेय संख्याओं को प्रमुख वर्गों में बांटा जाता है:
धनात्मक परिमेय (Positive Rational)
जब अंश (p) और हर (q) दोनों के चिह्न समान (दोनों + या दोनों -) हों।
3/5, -4/-7, 8/2
ऋणात्मक परिमेय (Negative Rational)
जब अंश और हर में से कोई एक ऋणात्मक (-) तथा दूसरा धनात्मक (+) हो।
-3/5, 4/-9, -1/2
मानक रूप (Standard Form)
जब HCF(p, q) = 1 हो और हर (q) हमेशा धनात्मक हो।
2/3, 5/7, -1/4
समतुल्य परिमेय (Equivalent)
अंश और हर में समान संख्या से गुणा या भाग करने पर प्राप्त भिन्न।
1/2 = 2/4 = 3/6
परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार (Decimal Expansion)
किसी भी परिमेय संख्या को जब दशमलव में बदला जाता है, तो केवल दो प्रकार का दशमलव प्रसार ही संभव होता है:
1. शांत दशमलव (Terminating Decimal)
जब भाग देने पर शेषफल 0 प्राप्त हो जाता है और दशमलव के बाद अंक समाप्त हो जाते हैं।
• 1/2 = 0.5
• 3/4 = 0.75
ट्रिक: यदि हर (q) के अभाज्य गुणनखंड 2ⁿ × 5ᵐ के रूप के हों, तो प्रसार शांत होगा।
• 1/2 = 0.5
• 3/4 = 0.75
ट्रिक: यदि हर (q) के अभाज्य गुणनखंड 2ⁿ × 5ᵐ के रूप के हों, तो प्रसार शांत होगा।
2. अशांत आवर्ती दशमलव (Non-Terminating Repeating)
जब भाग देने पर शेषफल कभी शून्य न हो, लेकिन दशमलव के बाद अंकों का कोई निश्चित पैटर्न बार-बार दोहराया जाए।
• 1/3 = 0.3333... = 0.3̄
• 2/11 = 0.181818... = 0.18̄
• 1/3 = 0.3333... = 0.3̄
• 2/11 = 0.181818... = 0.18̄
महत्वपूर्ण पहचान नियम
• यदि दशमलव प्रसार शांत (Terminating) या अशांत आवर्ती (Non-terminating Repeating) है ➔ संख्या परिमेय (Rational) होगी।
• यदि दशमलव प्रसार अशांत अनावर्ती (Non-terminating Non-repeating) है ➔ संख्या अपरिमेय (Irrational) होगी (जैसे: 0.1010010001...)।
• यदि दशमलव प्रसार अशांत अनावर्ती (Non-terminating Non-repeating) है ➔ संख्या अपरिमेय (Irrational) होगी (जैसे: 0.1010010001...)।
परिमेय संख्याओं के प्रमुख गुणधर्म (Properties)
संवृत नियम (Closure Property)
दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर और गुणनफल सदैव एक परिमेय संख्या होता है। (0 से भाग को छोड़कर)
क्रमविनिमेय नियम (Commutative)
जोड़ और गुणा में क्रम बदलने पर उत्तर समान रहता है। [a/b + c/d = c/d + a/b]
घनत्व नियम (Density Property)
किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच में अनंत (Infinite) परिमेय संख्याएं स्थित होती हैं।
मध्यमान सूत्र (Mean Method)
दो परिमेय संख्याओं 'a' और 'b' के ठीक बीच की परिमेय संख्या निकालने का सूत्र: (a + b) / 2
अंतर सारणी: परिमेय vs अपरिमेय संख्याएं
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच की मुख्य असमानताएं:
| विशेषता | परिमेय संख्याएं (Rational) | अपरिमेय संख्याएं (Irrational) |
|---|---|---|
| p/q निरूपण | आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। | p/q रूप में व्यक्त करना असंभव है। |
| दशमलव रूप | शांत अथवा अशांत आवर्ती (Repeating) | अशांत अनावर्ती (Non-repeating) |
| वर्गमूल रूप | पूर्ण वर्ग वाली संख्याएं (जैसे: √4 = 2, √9 = 3) | अपूर्ण वर्ग वाली संख्याएं (जैसे: √2, √3, √5) |
| π और 22/7 का भेद | 22/7 एक परिमेय संख्या है। | π (Pi) एक अपरिमेय संख्या है। |
| उदाहरण | 1/2, -5, 0, 0.75, 0.333... | √2, √3, e, π, 1.010010001... |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
क्या 0 (शून्य) एक परिमेय संख्या है?
हाँ, 0 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है (जैसे: 0/1, 0/2, 0/-5)। यहाँ अंश 0 है और हर शून्य नहीं है।
Q2
क्या 22/7 परिमेय है या अपरिमेय?
22/7 एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह p/q रूप में लिखी गई है। यद्यपि यह π का निकटतम मान है, किंतु π स्वयं अपरिमेय है और 22/7 परिमेय है।
Q3
किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्याएं होती हैं?
किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच में अनंत (Infinite) परिमेय संख्याएं पाई जाती हैं।
Q4
किसी संख्या में 0 से भाग देने पर क्या प्राप्त होता है?
किसी भी संख्या में 0 से भाग देना गणित में अपरिभाषित (Undefined / ∞) है, इसीलिए p/q में q ≠ 0 की शर्त रखी जाती है।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
परिमेय संख्याओं के सिद्धांतों और भिन्नों को पढ़ने के पश्चात् अब इन ऑनलाइन टेस्ट के माध्यम से अपना मूल्यांकन करें:
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