संख्या पद्धति | Number System | Mathwayy

Q: भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल में क्या संबंध है?

इनका संबंध सूत्र: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल द्वारा दर्शाया जाता है।

Hemant Verma

1 Aug, 2025

Number System Decimal & Binary Divisibility Rules Unit Digit & Remainder

संख्या पद्धति

Number System — गणितीय पद्धतियाँ, विभाज्यता नियम, शेषफल प्रमेय और इकाई अंक

संख्या पद्धति (Number System)

अंकगणित की नींव और प्रतियोगी परीक्षाओं का सबसे महत्वपूर्ण अध्याय

प्रस्तावना एवं परिभाषा (Introduction)

संख्याओं को व्यक्त करने, उनके आपसी संबंधों को समझने और गणनाओं को सुव्यवस्थित रूप से संचालित करने के लिए जिस गणितीय संरचना का प्रयोग किया जाता है, उसे संख्या पद्धति (Number System) कहते हैं। किसी भी प्रतियोगी परीक्षा (SSC, UPSI, Railway, State Exams) में अंकगणित (Arithmetic) की शुरुआत इसी अध्याय से होती है।

अंक (Digits) एवं संख्या (Numbers)

गणित में कुल 10 मूल अंक होते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। इन्हीं अंकों के संयोजन से अनंत संख्याएँ बनती हैं।

प्रमुख संख्या प्रणालियाँ (Numeration Systems)

संख्याओं को लिखने और पढ़ने के लिए विश्व में मुख्य रूप से चार पद्धतियाँ उपयोग की जाती हैं:

1. दशमलव प्रणाली (Decimal System)

इसका आधार (Base) 10 होता है। इसमें 0 से 9 तक के कुल 10 अंकों का प्रयोग होता है। यह दैनिक जीवन की मुख्य प्रणाली है।

Base = 10

2. द्विआधारी प्रणाली (Binary System)

इसका आधार (Base) 2 होता है। कंप्यूटर केवल इसी प्रणाली को समझता है जिसमें केवल '0' और '1' का प्रयोग होता है।

Base = 2 (0, 1)

3. अष्टाधारी प्रणाली (Octal System)

इसका आधार (Base) 8 होता है। इसमें 0 से लेकर 7 तक कुल आठ अंकों का प्रयोग किया जाता है।

Base = 8 (0 to 7)

4. षोडशाधारी (Hexadecimal)

इसका आधार 16 होता है। इसमें 0-9 तक अंक और A-F तक वर्णमाला के अक्षरों का प्रयोग होता है।

Base = 16 (0-9, A-F)

महत्वपूर्ण विभाज्यता के नियम (Rules of Divisibility)

परीक्षा में बड़ी-बड़ी संख्याओं की गणना को सेकंडों में हल करने के लिए विभाज्यता के नियम अत्यंत सहायक होते हैं:

2, 4, 8 से विभाज्यता

• 2 से: इकाई अंक 0, 2, 4, 6, 8 हो।
• 4 से: अंतिम दो अंक 4 से कटते हों।
• 8 से: अंतिम तीन अंक 8 से कटते हों।

3 और 9 से विभाज्यता

• 3 से: संख्या के सभी अंकों का योग (Sum of digits) 3 से विभाजित हो।
• 9 से: संख्या के सभी अंकों का योग 9 से विभाजित हो।

5 और 10 से विभाज्यता

• 5 से: इकाई का अंक केवल 0 या 5 होना चाहिए।
• 10 से: इकाई का अंक केवल 0 होना चाहिए।

11 से विभाज्यता (अति-महत्वपूर्ण)

सम स्थानों के अंकों का योग और विषम स्थानों के अंकों के योग का **अंतर 0 या 11 से विभाज्य** हो।
उदाहरण: 1331 ➔ (1+3) - (3+1) = 4 - 4 = 0 (11 से कटती है)।

इकाई अंक और शेषफल प्रमेय (Unit Digit & Remainder Theorem)

1. इकाई अंक (Unit Digit) निकालने के नियम

• यदि किसी संख्या के अंत में 0, 1, 5, 6 हो, तो घात (Power) कुछ भी हो, इकाई अंक वही रहता है (जैसे: 5²⁵ = इकाई अंक 5)।

• अन्य अंकों के लिए घात को 4 से भाग दें और प्राप्त शेषफल को घात बनाकर इकाई अंक ज्ञात करें।

2. भागफल नियम (Division Algorithm)

भाज्य (Dividend) = (भाजक × भागफल) + शेषफल

Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder

संख्याओं का संपूर्ण वर्गीकरण चार्ट (Master Map)

संख्या पद्धति के अंतर्गत आने वाले सभी प्रमुख प्रकारों का संक्षिप्त अवलोकन:

संख्या प्रकार	संकेत	शुरुआती अंक / रूप	मुख्य पहचान	उदाहरण
प्राकृतिक (Natural)	N	1	वस्तुओं की गिनती हेतु धनात्मक अंक	1, 2, 3, 4...
पूर्ण (Whole)	W	0	शून्य सहित सभी प्राकृतिक संख्याएँ	0, 1, 2, 3...
पूर्णांक (Integer)	Z / I	-∞	ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक अंक	...-2, -1, 0, 1, 2...
परिमेय (Rational)	Q	p/q (q≠0)	शांत या अशांत आवर्ती दशमलव	3/4, 0.5, 5, 22/7
अपरिमेय (Irrational)	Q' / P	करणी / नियतांक	अशांत अनावर्ती दशमलव प्रसार	√2, √3, π, e
वास्तविक (Real)	R	Q ∪ Q'	संख्या रेखा पर निरूपित सभी संख्याएँ	-5, 0, 2.5, √3, π
काल्पनिक (Imaginary)	i	bi (a=0)	ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल [i = √(-1)]	√-4 (2i), √-9 (3i)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)

Q1 संख्या पद्धति (Number System) का मूलभूत आधार क्या है?

संख्या पद्धति का आधार अंकों (Digits) और उनके स्थानीय मान (Place Value) पर निर्भर करता है। दैनिक जीवन में प्रयुक्त होने वाली प्रणाली दशमलव प्रणाली (Decimal System) है जिसका आधार 10 होता है।

Q2 इकाई अंक निकालते समय घात को 4 से भाग क्यों दिया जाता है?

क्योंकि गणित में अंकों की घातों की पुनरावृत्ति (Cyclicity) 4 के चक्र का पालन करती है। प्रत्येक 4 घात के बाद इकाई अंक पुनः दोहराने लगता है।

Q3 भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल में क्या संबंध है?

इनका संबंध सूत्र: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल द्वारा दर्शाया जाता है।

Q4 11 से विभाज्यता का परीक्षण कैसे किया जाता है?

संख्या के सम स्थानों और विषम स्थानों के अंकों के योग का अंतर निकालने पर यदि परिणाम 0 अथवा 11 का गुणज प्राप्त हो, तो संख्या 11 से कट जाती है।

प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)

संख्या पद्धति के संपूर्ण नियमों, शेषफल प्रमेय और विभाज्यता का अभ्यास करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट दें:

संख्या पद्धति पर आधारित ऑनलाइन क्विज़ हल करें:

क्विज़ 1 क्विज़ 2 क्विज़ 3 क्विज़ 4

डाउनलोड करें 'संख्या पद्धति' Master PDF

इस पूरे मास्टर चैप्टर के विस्तृत नोट्स, 100+ हल किए गए उदाहरण, विभाज्यता की जादुई ट्रिक्स और शॉर्टकट सूत्रों की प्रीमियम PDF डाउनलोड करें।

Download Number System PDF