वर्ग और वर्गमूल | Square And Square Root | in Hindi | Mathwayy
x² & √x
Square & Square Root
Short Tricks
Pythagorean Triplets
वर्ग और वर्गमूल
Square & Square Root — परिभाषा, गुणधर्म, निकालने की विधियाँ, शॉर्टकट ट्रिक्स और पाइथागोरीय त्रिक
वर्ग और वर्गमूल (Square & Square Root)
गणितीय गणनाओं को आसान बनाने वाली मूलभूत संकल्पनाएं
प्रस्तावना एवं मूलभूत परिभाषाएँ (Introduction)
गणित में वर्ग (Square) और वर्गमूल (Square Root) एक-दूसरे की विपरीत संक्रियाएँ (Inverse Operations) हैं। प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे SSC, UPSI, Railway आदि में त्वरित गणना (Fast Calculation) के लिए इस अध्याय की अवधारणाओं पर पकड़ होना अति-आवश्यक है।
1. वर्ग (Square)
जब किसी संख्या को उसी संख्या से स्वयं गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल को उस संख्या का 'वर्ग' कहते हैं। इसे घात 2 (x²) के रूप में लिखा जाता है।
5² = 5 × 5 = 25
2. वर्गमूल (Square Root)
किसी दी गई संख्या का 'वर्गमूल' वह मूल संख्या होती है जिसका वर्ग करने पर दी गई संख्या प्राप्त होती है। इसे '√' संकेत से दर्शाया जाता है।
√25 = 5
पूर्ण वर्ग संख्याओं के अति-महत्वपूर्ण गुणधर्म (Properties)
किसी संख्या को देखते ही पहचाने कि वह पूर्ण वर्ग (Perfect Square) हो सकती है या नहीं, इसके लिए प्रमुख नियम नीचे दिए गए हैं:
इकाई अंक का नियम (Unit Digit)
किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई का अंक कभी भी 2, 3, 7, या 8 नहीं हो सकता। यदि इकाई अंक 2, 3, 7, या 8 है, तो वह संख्या कभी पूर्ण वर्ग नहीं होगी।
संभव इकाई अंक
पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6, या 9 ही हो सकता है।
बीजांक / डिजिट सम (Digital Sum)
किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या के अंकों का योग (Digital Sum) सदैव 1, 4, 7, या 9 ही होता है।
शून्यों की संख्या (Trailing Zeros)
किसी पूर्ण वर्ग संख्या के अंत में शून्यों की संख्या सदैव सम (Even - 2, 4, 6) होती है। विषम संख्या में 0 होने पर वह पूर्ण वर्ग नहीं होगी (जैसे: 1000 पूर्ण वर्ग नहीं है, परंतु 100 है)।
विषम संख्याओं के योग का जादुई नियम
प्रथम 'n' क्रमगत विषम प्राकृतिक संख्याओं का योगफल सदैव n² होता है:
• 1 = 1 = 1²
• 1 + 3 = 4 = 2²
• 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
• 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
• 1 = 1 = 1²
• 1 + 3 = 4 = 2²
• 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
• 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
वर्ग निकालने की सुपर-फ़ास्ट ट्रिक्स (Square Shortcut Tricks)
ट्रिक 1: जिस संख्या का इकाई अंक 5 हो (जैसे 25, 35, 75, 85)
• अंत में 25 लिखें।
• दहाई के अंक को उसकी अगली संख्या से गुणा करें [n × (n + 1)]।
उदाहरण (75²): 5² = 25, और 7 × 8 = 56 ➔ उत्तर = 5625।
ट्रिक 2: सर्वव्यापी बीजीय सूत्र (a + b)² ट्रिक
किसी भी 2-अंकों की संख्या (ab)² के लिए: a² / 2ab / b²
उदाहरण (47²): a = 4, b = 7
• b² = 7² = 49 (9 लिखकर 4 हासिल)
• 2ab = 2 × 4 × 7 = 56 + 4 (हासिल) = 60 (0 लिखकर 6 हासिल)
• a² = 4² = 16 + 6 (हासिल) = 22 ➔ उत्तर = 2209।
वर्गमूल निकालने की मुख्य विधियाँ (Methods for Square Root)
वर्गमूल ज्ञात करने के लिए मुख्य रूप से दो सर्वमान्य विधियाँ हैं:
1. अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization)
• दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखंड कीजिए।
• समान गुणनखंडों के 2-2 के जोड़े (Pairs) बनाइए।
• प्रत्येक जोड़े में से एक-एक संख्या बाहर निकालकर गुणा करें।
उदाहरण (144): √(2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 2 × 2 × 3 = 12।
• समान गुणनखंडों के 2-2 के जोड़े (Pairs) बनाइए।
• प्रत्येक जोड़े में से एक-एक संख्या बाहर निकालकर गुणा करें।
उदाहरण (144): √(2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 2 × 2 × 3 = 12।
2. भाग विधि (Long Division Method)
• इकाई अंक की तरफ से 2-2 अंकों के जोड़े (Bar) बनाइए।
• यह विधि बड़ी संख्याओं तथा दशमलव संख्याओं का वर्गमूल निकालने के लिए सबसे सटीक और विश्वसनीय विधि है।
• यह विधि बड़ी संख्याओं तथा दशमलव संख्याओं का वर्गमूल निकालने के लिए सबसे सटीक और विश्वसनीय विधि है।
पाइथागोरीय त्रिक (Pythagorean Triplets)
ऐसी तीन धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ (a, b, c) जो पाइथागोरस प्रमेय a² + b² = c² को संतुष्ट करती हैं, पाइथागोरीय त्रिक कहलाती हैं।
त्रिक बनाने का सामान्य सूत्र
किसी भी प्राकृतिक संख्या m > 1 के लिए: (2m, m² - 1, m² + 1) एक पाइथागोरीय त्रिक होता है।
परीक्षाओं में बार-बार आने वाले मुख्य त्रिक:
- (3, 4, 5) ➔ 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
- (5, 12, 13) ➔ 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
- (6, 8, 10)
- (8, 15, 17)
- (7, 24, 25)
- (9, 40, 41)
1 से 30 तक वर्ग और वर्गमूल तालिका (Quick Reference Table)
तेज़ गणना के लिए 1 से 30 तक के वर्ग याद होना बेहद आवश्यक है:
| संख्या (n) | वर्ग (n²) | वर्गमूल (√n) | संख्या (n) | वर्ग (n²) | वर्गमूल (√n) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1.000 | 16 | 256 | 4.000 |
| 2 | 4 | 1.414 | 17 | 289 | 4.123 |
| 3 | 9 | 1.732 | 18 | 324 | 4.242 |
| 4 | 16 | 2.000 | 19 | 361 | 4.358 |
| 5 | 25 | 2.236 | 20 | 400 | 4.472 |
| 6 | 36 | 2.449 | 21 | 441 | 4.582 |
| 7 | 49 | 2.645 | 22 | 484 | 4.690 |
| 8 | 64 | 2.828 | 23 | 529 | 4.795 |
| 9 | 81 | 3.000 | 24 | 576 | 4.898 |
| 10 | 100 | 3.162 | 25 | 625 | 5.000 |
| 11 | 121 | 3.316 | 26 | 676 | 5.099 |
| 12 | 144 | 3.464 | 27 | 729 | 5.196 |
| 13 | 169 | 3.605 | 28 | 784 | 5.291 |
| 14 | 196 | 3.741 | 29 | 841 | 5.385 |
| 15 | 225 | 3.872 | 30 | 900 | 5.477 |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
Q1
क्या ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल संभव है?
वास्तविक संख्या प्रणाली (Real Numbers) में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल संभव नहीं है। ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल को काल्पनिक संख्या (Imaginary Number) माना जाता है (जैसे: √-1 = i)।
Q2
क्या कोई संख्या जिसका इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 हो, पूर्ण वर्ग हो सकती है?
नहीं, गणितीय नियम के अनुसार जिस संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7, या 8 होता है, वह कभी भी पूर्ण वर्ग (Perfect Square) नहीं हो सकती।
Q3
दशमलव संख्याओं का वर्गमूल निकालने के लिए कौन सी विधि सर्वोत्तम है?
दशमलव संख्याओं का सटीक वर्गमूल निकालने के लिए भाग विधि (Long Division Method) सर्वोत्तम और सबसे प्रामाणिक विधि मानी जाती है।
Q4
√2 और √3 का मान दशमलव के तीन स्थानों तक क्या होता है?
• √2 का मान = 1.414
• √3 का मान = 1.732।
• √3 का मान = 1.732।
प्रश्नों का अभ्यास (Practice & Mock Test)
वर्ग और वर्गमूल के नियमों तथा ट्रिक्स को समझने के पश्चात् अपनी गति जांचने के लिए ऑनलाइन टेस्ट दें:
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1 से 100 तक वर्ग याद करने की शार्टकट ट्रिक्स, भाग विधि के उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों की हस्तलिखित PDF मुफ्त डाउनलोड करें।
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