वृत्तीय बेलन | Circular Cylinder | in Hindi | Mathwayy
V = πr²h
CSA = 2πrh
TSA = 2πr(h+r)
3D आकृति
लम्ब वृत्तीय बेलन
Right Circular Cylinder — त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति का विस्तृत विवरण
लम्ब वृत्तीय बेलन
एक महत्वपूर्ण त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति
लम्ब वृत्तीय बेलन का परिचय
लम्ब वृत्तीय बेलन एक त्रि-आयामी ठोस आकृति है जिसमें दो समान्तर वृत्ताकार आधार और एक वक्र पृष्ठ होता है। यह आधारों के केंद्रों को मिलाने वाली अक्ष के सापेक्ष सममित होता है।
बेलन हमारे दैनिक जीवन में बहुतायत में पाए जाते हैं — पेय पदार्थों के डिब्बे, पाइप, सिलेंडर, स्तम्भ आदि।
महत्वपूर्ण बिंदु
बेलन को "लम्ब" इसलिए कहते हैं क्योंकि इसकी अक्ष आधार के लम्बवत होती है।
नीला — आधार वृत्त (Base)
लाल (h) — ऊँचाई (Height)
हरा (r) — त्रिज्या (Radius)
नारंगी — अक्ष (Axis)
बेलन के भाग और विशेषताएँ
आधार (Base)
बेलन के दो सर्वांगसम वृत्ताकार सिरे जो समान्तर तलों में स्थित होते हैं।
त्रिज्या (r) = आधार वृत्त की त्रिज्या
ऊँचाई (Height)
दोनों आधार तलों के बीच की लम्बवत दूरी को बेलन की ऊँचाई कहते हैं।
ऊँचाई (h) = दोनों आधारों के बीच की दूरी
वक्र पृष्ठ (CSA)
दोनों आधारों को जोड़ने वाला वक्र पृष्ठ। इसे खोलने पर एक आयत मिलता है।
अक्ष = दोनों केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा
बेलन के सूत्र
आयतन (Volume)
V = πr²h
घन इकाई (cm³, m³)
वक्र पृष्ठ (CSA)
= 2πrh
वर्ग इकाई (cm², m²)
कुल पृष्ठ (TSA)
= 2πr(h+r)
वर्ग इकाई (cm², m²)
आधार का क्षेत्रफल
= πr²
वर्ग इकाई (cm², m²)
| गुण | सूत्र | इकाई |
|---|---|---|
| आयतन | πr²h | घन इकाई |
| वक्र पृष्ठ (CSA) | 2πrh | वर्ग इकाई |
| कुल पृष्ठ (TSA) | 2πr(h + r) | वर्ग इकाई |
| आधार का क्षेत्रफल | πr² | वर्ग इकाई |
| परिधि (आधार) | 2πr | रेखीय इकाई |
हल किए हुए उदाहरण
आयतन के उदाहरण
उदाहरण 1 — आयतन
त्रिज्या r = 7 cm, ऊँचाई h = 10 cm
V = πr²h = (22/7) × 7² × 10 = (22/7) × 49 × 10
V = 1540 cm³
V = πr²h = (22/7) × 7² × 10 = (22/7) × 49 × 10
V = 1540 cm³
उदाहरण 2 — टंकी की धारिता
व्यास = 2 m → त्रिज्या r = 1 m, ऊँचाई h = 3.5 m
V = (22/7) × 1² × 3.5 = 11 m³ = 11000 लीटर
V = (22/7) × 1² × 3.5 = 11 m³ = 11000 लीटर
पृष्ठीय क्षेत्रफल के उदाहरण
उदाहरण 3 — CSA
r = 3.5 cm, h = 10 cm
CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 3.5 × 10 = 220 cm²
CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 3.5 × 10 = 220 cm²
उदाहरण 4 — TSA
r = 14 cm, h = 50 cm
TSA = 2πr(h + r) = 2 × (22/7) × 14 × (50 + 14) = 88 × 64 = 5632 cm²
TSA = 2πr(h + r) = 2 × (22/7) × 14 × (50 + 14) = 88 × 64 = 5632 cm²
वास्तविक जीवन में उपयोग
पेय डिब्बे
सिलेंडर
पाइप
स्तम्भ
टंकी
ड्रम
ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
बेलन का अध्ययन प्राचीन मिस्र, यूनान और भारत में किया जाता था।
भारत का योगदान
आर्यभट्ट और ब्रह्मगुप्त ने त्रि-आयामी आकृतियों के गुणधर्मों का अध्ययन किया। शुल्ब सूत्रों में ज्यामितीय आकृतियों का विवेचन है।
प्राचीन
मिस्र
मिस्र
प्राचीन मिस्र
बेलनाकार मापन उपकरणों का उपयोग।
आर्की
मिडीज
मिडीज
आर्किमिडीज — यूनान
बेलन और गोले के आयतन के बीच संबंध की महत्वपूर्ण खोज।
भारतीय
गणित
गणित
भारतीय गणित
शुल्ब सूत्रों और बाद में आर्यभट्ट द्वारा ज्यामितीय आकृतियों का विस्तृत अध्ययन।
आधुनिक
युग
युग
आधुनिक युग
कैलकुलस के विकास के साथ बेलन के गुणधर्मों का गहन अध्ययन और इंजीनियरिंग में उपयोग।
महत्वपूर्ण तथ्य
बेलन के प्रकार
लम्ब वृत्तीय बेलन: अक्ष आधार के लम्बवत।
तिर्यक बेलन: अक्ष आधार के लम्बवत नहीं होता।
तिर्यक बेलन: अक्ष आधार के लम्बवत नहीं होता।
दिलचस्प तथ्य
बेलन का वक्र पृष्ठ वास्तव में एक आयत होता है! इसकी लम्बाई = आधार वृत्त की परिधि (2πr) और चौड़ाई = बेलन की ऊँचाई (h) होती है। इसीलिए CSA = 2πr × h।
गुणधर्म
• दो सर्वांगसम वृत्ताकार आधार
• आधार समान्तर तलों में
• अक्ष आधार के लम्बवत
• यांत्रिक दबाव को समान रूप से वितरित करता है
• आधार समान्तर तलों में
• अक्ष आधार के लम्बवत
• यांत्रिक दबाव को समान रूप से वितरित करता है
प्रकृति में बेलन
प्रकृति में भी बेलनाकार आकृतियाँ देखने को मिलती हैं — पेड़ों के तने, चट्टानें और कुछ जीव-जंतुओं की शारीरिक संरचनाएँ।
ज्यामिति सदैव मेरी सबसे प्रिय विज्ञान शाखा रही है, क्योंकि इसमें तर्क और कल्पना का सुन्दर समन्वय है।
पोस्ट का सारांश
3 भाग
आधार, ऊँचाई, वक्र पृष्ठ
4 सूत्र
V, CSA, TSA, Base
4 उदाहरण
हल सहित
4 युग
ऐतिहासिक timeline
अगला अध्ययन करें
इसके बाद शंकु → गोला → घन → घनाभ का अध्ययन करें।